Похідні чисел: методи обчислення та приклади

Напевно, поняття похідної знайоме кожному з нас ще зі школи. Зазвичай в учнів виникають труднощі з розумінням цієї, безсумнівно, дуже важливої речі. Вона активно застосовується в різних сферах життя людей, і багато інженерні розробки були засновані саме на математичних розрахунках, отриманих за допомогою похідної. Але перш ніж перейти до розбору того, що ж таке похідні чисел, як їх обчислювати і де вони нам знадобляться, зануримося трохи в історію.

Історія

Поняття похідної, є основою математичного аналізу, було відкрито (краще навіть сказати "винайдено", тому що в природі воно як таке не існувало) Ісааком Ньютоном, якого ми всі знаємо з відкриття закону всесвітнього тяжіння. Саме він вперше застосував у фізиці це поняття для зв'язування природи швидкості і прискорення тел. Та багато вчених до цих пір вихваляють Ньютона за це чудове винахід, адже по суті він винайшов основу диференціального і інтегрального обчислення, фактично основу цілої галузі математики під назвою "математичний аналіз". Будь в той час Нобелівська премія, Ньютон з великою ймовірністю отримав би її кілька разів.


Не обійшлося і без інших великих умів. Крім Ньютона над розвитком похідної та інтеграла потрудилися такі імениті генії математики, як Леонард Ейлер, Луї Лагранж і Готфрід Лейбніц. Саме завдяки їм ми отримали теорію диференціального числення в такому вигляді, в якому вона існує донині. До речі, це Лейбніц відкрив геометричний зміст похідної, яка виявилася нічим іншим, як тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції. Що ж таке похідні чисел? Трохи повторимо те, що проходили в школі.

Що таке похідна?

Визначати це поняття можна кількома різними способами. Найпростіше пояснення: похідна - це швидкість зміни функції. Уявімо графік якої-небудь функції y від x. Якщо це не пряма, вона має деякі вигини в графіку, періоди зростання і спадання. Якщо брати якийсь нескінченно малий проміжок цього графіка, він представлятиме собою відрізок прямої. Так от, відношення розміру цього нескінченно малого відрізка по координаті y до розміру по координаті x і буде похідною даної функції в даній точці. Якщо розглядати функцію в цілому, а не в конкретній точці, то ми отримаємо функцію похідної, тобто певну залежність ігрек від ікс.


До того ж крім фізичного змісту похідної як швидкості зміни функції є ще і геометричний зміст. Про нього ми зараз і поговоримо.

Геометричний зміст

Похідні чисел самі по собі являють собою деяке число, яке без належного розуміння не несе ніякого сенсу. Виявляється, похідна не тільки показує швидкість зростання або зменшення функції, а також тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в даній точці. Не зовсім зрозуміле визначення. Розглянемо його детальніше. Припустимо, у нас є графік будь-якої функції (для інтересу візьмемо криву). На ній є безліч точок, але є такі області, де тільки одна єдина точка має максимум або мінімум. Через будь-яку таку точку можна провести пряму, яка перпендикулярна до графіка функції в цій точці. Така лінія буде називатися дотичній. Припустимо, ми провели її до перетину з віссю OX. Так от, отриманий між дотичною і віссю OX кут і буде визначатися похідної. А точніше, тангенс цього кута буде дорівнювати їй.
Поговоримо трохи про приватних випадках і розберемо похідні чисел.

Приватні випадки

Як ми вже говорили, похідні чисел - це значення похідної в конкретній точці. Ось наприклад, візьмемо функцію y=x 2 . Похідна х - число, а в загальному випадку - функція, рівна 2*x. Якщо нам необхідно обчислити похідну, скажімо, в точці x 0 = 1 то отримуємо y'(1)=2*1=2. Все дуже просто. Цікавий випадок являє похідна комплексного числа. Вдаватися в детальне пояснення того, що таке комплексне число, ми не будемо. Скажемо лише, що це число, яке містить у собі так звану уявну одиницю - число, квадрат якого дорівнює -1. Обчислення такої похідної можливо лише при наявності наступних умов: 1) Повинні існувати приватні похідні першого порядку від дійсної та уявної частини по ігрек і по ікс. 2) Виконуються умови Коші-Рімана, пов'язані з рівністю приватних похідних, описаних в першому пункті. Іншим цікавим випадком, хоча і не таким складним, як попередній, є похідна від'ємного числа. Насправді будь-яке від'ємне число можна представити як позитивне, помножене на -1. Ну а похідна постійної і функції дорівнює постійної, помноженої на похідну функції. Цікаво буде дізнатися про роль похідної в повсякденному житті, і саме це зараз і обговоримо.

Застосування

Напевно, кожен з нас хоч раз в житті ловить себе на думці, що математика навряд чи стане в нагоді йому. А така складна штука, як похідна, напевно, взагалі не має застосування. Насправді, математика - фундаментальна наука, і всі її плоди розвиває в основному фізика, хімія, астрономія і навіть економіка. Похідна поклала початок математичного аналізу, який дав нам можливість робити висновки з графіків функцій, і ми навчилися інтерпретувати закони природи і звертати їх на свою користь завдяки йому.

Висновок

Звичайно, не кожному, можливо, знадобиться похідна в реальному житті. Але математика розвиває логіку, яка вже точно буде потрібна. Адже Не дарма математику називають царицею наук: з неї складаються основи розуміння інших областей знань.