Многогранники не тільки займають чільне місце в геометрії, але і зустрічаються в повсякденному житті кожної людини. Не кажучи вже про штучно створених предметах побуту у вигляді різних багатокутників, починаючи з сірникової коробки і закінчуючи архітектурними елементами, у природі також трапляються кристали у формі куба (сіль), призми (кришталь), піраміди (шеелит), октаедра (алмаз) і т. д.
Поняття многогранника, види многогранників в геометрії
Геометрія як наука містить розділ стереометрії, що вивчає характеристики і властивості об'ємних фігур. Геометричні тіла, сторони яких у тривимірному просторі утворені обмеженими площинами (гранями), носять назву "многогранники". Види многогранників налічують не один десяток представників, які різняться кількістю і формою граней.
Тим не менш у всіх многогранників є загальні властивості:
Всі вони мають 3 невід'ємних компонента: грань (поверхня багатокутника), вершина (кути, що утворилися в місцях з'єднання граней), ребро (сторона фігури або відрізок, утворений в місці стику двох граней). Кожне ребро многокутника з'єднує дві і тільки дві межі, які по відношенню один до одного є суміжними. Опуклість означає, що тіло повністю розташоване лише по одну сторону площині, на якій лежить одна з граней. Правило застосовується до всіх граней багатогранника. Такі геометричні фігури стереометрії називають терміном опуклі многогранники. Виняток становлять зірчасті багатогранники, які є похідними правильних багатогранних геометричних тел. Многогранники можна умовно розділити на:
Види опуклих багатогранників, які складаються з таких класів: звичайні або класичні (призма, піраміда, паралелепіпед), правильні (також звані Платоновими тілами), напівправильні (друге назва – Архимедови тіла). Невипуклие многогранники (зірчасті). Призма і її властивості
Стереометрія як розділ геометрії, що вивчає властивості тривимірних фігур, види многогранників (призма в їх числі). Призмою називають геометричне тіло, яке має обов'язково дві абсолютно однакові грані (їх також називають підставами), що лежать у паралельних площинах, і n-е число бічних граней у вигляді паралелограмів. В свою чергу, призма має кілька різновидів, серед яких такі види многогранників, як:
Паралелепіпед - утворюється, якщо в основі лежить паралелограм - багатокутник з 2 парами рівних протилежних кутів і двома парами конгруентних протилежних сторін. Пряма призма має перпендикулярні до основи ребра. Похила призма характеризується наявністю непрямих кутів (відмінних від 90) між гранями і підставою. Правильна призма характеризується підставами у вигляді правильного багатокутника з рівними бічними гранями. Основні властивості призми:
Конгруентні підстави. Всі ребра призми рівні і паралельні один до одного. Всі бічні грані мають форму паралелограма. Піраміда
Пірамідою називають геометричне тіло, яке складається з однієї підстави і з n-го числа трикутних граней, що з'єднуються в одній точці – вершині. Слід зазначити, що якщо бічні грані піраміди представлені обов'язково трикутниками, то на підставі може бути як трикутний багатокутник, так і чотирикутник, п'ятикутник, і так до нескінченності. При цьому назва піраміди буде відповідати многоугольнику в підставі. Наприклад, якщо в основі піраміди лежить трикутник – це трикутна піраміда, чотирикутник – чотирикутна, і т. д.
Піраміди – це конусоподібні многогранники. Види многогранників цієї групи, крім перерахованих вище, включають також наступних представників:
Правильна піраміда має в підставі правильний багатокутник, і висота її проектується в центр кола, вписаного в основу або описаної навколо нього. Прямокутна піраміда утворюється тоді, коли одне з бічних ребер перетинається з підставою під прямим кутом. В такому випадку це ребро справедливо назвати висотою піраміди. Властивості піраміди:
У разі якщо всі бічні ребра піраміди конгруентний (однакової висоти), то всі вони перетинаються з підставою під одним кутом, а навколо підстави можна прокреслити окружність з центром, що збігається з проекцією вершини піраміди. Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то всі бічні ребра конгруентний, а межі є равнобедренними трикутниками. Правильний багатогранник: види та властивості многогранників
У стереометрії особливе місце займають геометричні тіла з абсолютно рівними між собою гранями, у вершинах яких з'єднується однакова кількість ребер. Ці тіла отримали назву Платонові тіла, чи правильні многогранники. Види многогранників з такими властивостями налічують всього п'ять фігур:
Тетраедр. Гексаэдр. Октаедр. Додекаедр. Ікосаедр. Своєю назвою правильні многогранники зобов'язані давньогрецькому філософу Платону, описав ці геометричні тіла у своїх працях і связавшему їх з природними стихіями: землі, води, вогню, повітря. П'ятої фігурі присуджували схожість з будовою Всесвіту. На його думку, атоми природних стихій за формою нагадують види правильних багатогранників. Завдяки своєму самого захоплюючого властивості – симетричності, ці геометричні тіла представляли великий інтерес не тільки для давніх математиків і філософів, але і для архітекторів, художників і скульпторів всіх часів. Наявність всього лише 5 видів многогранників з абсолютною симетрією вважалося фундаментальної знахідкою, їм навіть присуджували зв'язок з божественним початком.
Гексаэдр і його властивості
У формі шестикутника наступники Платона припускали схожість з будовою атомів землі. Звичайно ж, в даний час ця гіпотеза повністю спростована, що, однак, не заважає фігур і в сучасності залучати уми відомих діячів своєю естетичністю.
В геометрії гексаэдр, він же куб, вважається приватним випадком паралелепіпеда, який, у свою чергу, є різновидом призми. Відповідно і властивості куба пов'язані з властивостями призми з тією лише різницею, що усі грані і кути куба рівні між собою. З цього випливають такі властивості:
Всі ребра куба конгруентний і лежать у паралельних площинах по відношенню один до одного. Усі грані – конгруентні квадрати (всього в кубі їх 6), кожний з яких може бути прийнятий за основу. Всі межгранние кути дорівнюють 90. З кожної вершини виходить рівна кількість ребер, а саме 3. Куб має 9 осей симетрії, які все перетинаються в точці перетину діагоналей гексаэдра, називається центром симетрії. Тетраедр
Тетраедр – це чотиригранник з рівними гранями у формі трикутників, кожна з вершин яких є точкою з'єднання трьох граней.
Властивості правильного тетраедра:
Усі грані тетраэда – це рівносторонні трикутники, з чого випливає, що всі грані чотиригранника конгруентний. Так як підстава представлено правильної геометричної фігурою, тобто має рівні сторони, то і грані тетраедра сходяться під однаковим кутом, то є всі кути рівні. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює 180 так як всі кути рівні, то будь-який кут правильного чотиригранника становить 60. Кожна з вершин проектується в точку перетину висот протилежного (ортоцентр) межі. Октаедр і його властивості
Описуючи види правильних многогранників, не можна не відзначити такий об'єкт, як октаедр, який візуально можна представити у вигляді двох склеєних підставами чотирикутних правильних пірамід.
Властивості октаедра:
Сама назва геометричного тіла підказує кількість його граней. Восьмигранник складається з 8 конгруентних рівносторонніх трикутників, в кожній з вершин якого сходиться рівну кількість граней, а саме 4. Так як всі грані октаедра рівні, рівні і його межгранние кути, кожен з яких дорівнює 60 а сума плоских кутів будь-якої з вершин становить, таким чином, 240. Додекаедр
Якщо уявити, що всі грані геометричного тіла являють собою правильний п'ятикутник, то вийде додекаедр – фігура з 12 багатокутників.
Властивості додекаедр:
В кожній вершині перетинаються по три грані. Усі грані рівні і мають однакову довжину ребер, а також рівну площу. У додекаедр 15 осей і площин симетрії, причому кожна з них проходить через вершину межі і середину протилежного їй ребра. Ікосаедр
Не менш цікава, ніж додекаедр, фігура ікосаедр являє собою об'ємне геометричне тіло з 20 рівними гранями. Серед властивостей правильного двадцатигранника можна відзначити наступні:
Усі грані ікосаедра - рівнобедрені трикутники. В кожній вершині многогранника сходиться п'ять граней, і сума суміжних кутів вершини становить 300. Ікосаедр має так само, як і додекаедр, 15 осей і площин симетрії, що проходять через середини протилежних граней.
Напівправильні багатокутники
Крім Платонових тіл, в групу опуклих багатогранників входять також Архимедови тіла, які являють собою усічені правильні многогранники. Види многогранників даної групи володіють наступними властивостями:
Геометричні тіла мають попарно рівні межі кількох типів, наприклад, усічений тетраедр має так само, як і правильний тетраедр, 8 граней, але в разі Архімедового тіла 4 грані будуть трикутної форми 4 - шестикутної. Всі кути однієї вершини конгруентний. Зірчасті багатогранники
Представники необъемних видів геометричних тіл – зірчасті багатогранники, межі яких перетинаються один з одним. Вони можуть бути утворені шляхом злиття двох правильних тривимірних тіл або в результаті продовження їх граней.
Таким чином, відомі такі зірчасті багатогранники, як: зірчасті форми октаедра, додекаедр, ікосаедра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.
