Докази не потрібні: приклад аксіоми

Що ховається за загадковим словом "аксіома", звідки воно прийшло і що означає? Школяр 7-8-го класу з легкістю відповість на це питання, оскільки зовсім недавно, під час освоєння базового курсу планіметрії, він вже стикався з завданням: "Які твердження називаються аксіомами, наведіть приклади". Аналогічне питання дорослої людини, швидше за все, призведе до утруднення. Чим більше часу проходить з моменту навчання, тим складніше згадати ази наук. Разом з тим слово «аксіома» часто використовується і в повсякденному побуті.

Визначення терміна

Так які твердження називаються аксіомами? Приклади аксіом досить різноманітні і не обмежуються якоюсь однією галуззю науки. Згаданий термін прийшов з давньогрецької мови і в дослівному перекладі означає «прийняте положення». Суворе визначення цього терміна свідчить, що аксіома – основна теза якої-небудь теорії, не потребує доказів. Широко поширене це поняття в математиці (а особливо в геометрії), логіки, філософії. Ще древній грек Аристотель заявив, що очевидним фактам докази не потрібні. Наприклад, ні в кого не викликає сумніву, що сонячне світло видно тільки вдень. Розвинув цю теорію інший математик – Евкліда. Приклад аксіоми про паралельні прямі, які ніколи не перехрещуються, належить йому. З часом визначення терміна змінювалося. Зараз аксіома сприймається не тільки як початок науки, а й як певний отриманий проміжний результат, який служить відправною точкою для подальшої теорії.

Затвердження зі шкільного курсу

Школярі знайомляться з не вимагають підтвердження постулатами на уроках математики. Тому, коли випускникам старших класів дають завдання: "Приведіть приклади аксіом", вони найчастіше згадують курси геометрії і алгебри. Ось зразки часто зустрічаються відповідей:

для прямої є точки, які до неї відносяться (тобто лежать на прямій) і не належать (не лежать на прямій);

пряму можна провести через будь-які дві точки;

щоб розбити площину на дві півплощини, потрібно провести пряму.

Алгебра і арифметика в явному вигляді подібних тверджень не вводять, але приклад аксіоми можна знайти і в цих науках:

будь-яке число дорівнює самому собі;

одиниця передує всім натуральним числам;

якщо k=l, то l=k.

Так, через прості тези вводяться більш складні поняття, робляться слідства і виводяться теореми.

Побудова наукової теорії на основі аксіом

Щоб побудувати наукову теорію (неважливо про яку області досліджень йде мова), потрібна основа – цеглинки, з яких вона буде складатися. Суть аксіоматичного методу: створюється словник термінів, формулюється приклад аксіоми, на базі якого виводяться інші постулати. Науковий глосарій повинен містити елементарні поняття, тобто ті, які неможливо визначити через інші:

Послідовно пояснюючи кожен термін, викладаючи його значення, доходять до основ будь-якої науки.

Наступний крок – виявлення базового набору тверджень, який повинен бути достатнім для доведення інших тверджень теорії. Самі ж базові постулати приймаються без обґрунтування.

Заключний крок – побудова і логічний висновок теореми.

Постулати з різних наук

Вирази без доказів є не тільки в точних науках, але й у тих, які прийнято відносити до гуманітарних. Яскравий приклад – філософія, яка визначає як аксіому твердження, пізнати яку можна без практичних знань.
Приклад аксіоми є і в юридичних науках: "не можна судити власне діяння". Виходячи з даного твердження, виводять норми цивільного права – неупередженість судочинства, тобто суддя не може розглядати справу, якщо він прямо чи опосередковано у ньому зацікавлений.

Не всі приймається на віру

Щоб зрозуміти різницю між істинними аксіомами і простими виразами, які оголошуються істиною, потрібно проаналізувати ставлення до них. Наприклад, якщо мова йде про релігії, де все приймається на віру, там поширений принцип повного переконання, що щось є істиною, оскільки це неможливо довести. А в науковому середовищі говорять про неможливість поки перевірити якесь положення, відповідно, воно буде аксіомою. Готовність засумніватися, перевіряти – ось що відрізняє справжнього вченого.