Правильна трикутна призма: визначення, формули для площі поверхні та об'єму. Приклад завдання

У всіх школах у старших класах проходять курс стереометрії, в якому розглядають характеристики різних просторових фігур. Дана стаття присвячена вивченню властивостей однією з таких фігур. Розглянемо, що таке правильна трикутна призма.

Призма в геометрії

Згідно стереометрическому визначення, призма є об'ємною фігурою, що складається з n паралелограмів і двох однакових n-вугільних підстав, де n - ціле позитивне число. Обидва підстави розташовані в паралельних площинах, а паралелограми з'єднують попарно їх боку в єдину фігуру. Будь-яку призму можна отримати наступним способом: слід взяти плоский n-кутник і перемістити його паралельно самому собі в іншу площину. В процесі переміщення вершини n-кутника прочертят n відрізків, які будуть бічними ребрами призми.


Призми можуть бути опуклими і увігнутими, прямими і косоугольными, правильними і неправильними. Всі ці види фігур відрізняються один від одного формою n-кутників у основі, а також їх розташуванням щодо перпендикулярного їм відрізку, довжина якого є висотою призми. Нижче малюнок демонструє набір призм із різним числом кутів в підставі і кількістю бічних граней.

Правильна трикутна призма

Перша призма на фотографії вище є правильної трикутної. Вона складається з двох однакових рівносторонніх трикутників і з трьох прямокутників. Прямокутник є приватним випадком паралелограма, тому розглянута фігура задовольняє викладеним раніше стереометрическому визначенням.


Крім п'яти граней, трикутна призма утворена шістьма вершинами, які належать обом підстав, і дев'ятьма ребрами, три з яких є боковими. Важливою властивістю правильної трикутної призми є те, що її висота збігається з довжиною бічного ребра. Всі ці ребра дорівнюють один одному, а бічні прямокутники перетинають підстави під прямими кутами. Зазначимо, що прямі двогранні кути між засновками і бічними гранями призводять до того, що паралелограми похилій призми стають прямокутниками в прямій фігурі. Очевидно, що при певних довжинах ребер прямокутники можуть стати квадратами. Важливими властивостями будь об'ємної фігури є площа її поверхні і ув'язнений в ній обсяг простору. Вивчається призма не є винятком, тому розглянемо її докладні характеристики.

Площа поверхні

Площа правильної трикутної призми утворена площами всіх її п'яти граней. Відомо, що площа просторових фігур простіше розглядати і вивчати на площині, тому зручно зробити розгортку призми. Вона показана нижче. Розгортка представлена п'ятьма фігурами двох типів, які в призмі були гранями. Для визначення площі всіх цих фігур введемо наступні позначення: будемо вважати довжину сторони основи дорівнює a, а висоту (довжину бічного ребра) дорівнює h. З урахуванням позначень одержуємо площа одного трикутника: S 3 = ?3 /4 x a 2 При запису цієї формули використовувалося стандартне вираз для площі трикутника. Площа одного прямокутника дорівнює: S 4 = a x h З урахуванням числа трикутників, прямокутників (див. розгортку вище) отримаємо формулу для площі повної поверхні досліджуваної геометричної фігури: S = 2 x S 3 + 3 x S 4 = ?3 /2 x a 2 + 3 x a x h Тут перший член у правій частині рівності описує площа двох підстав, другий член дозволяє обчислити площу поверхні бічної. Нагадаємо, що отримана для S формула справедлива лише для прямої правильної трикутної призми. Якщо б ми розглядали похилу фігуру, то вираз для S мало б інший вигляд.

Формула для визначення об'єму фігури

Об'ємом будь просторової фігури називається та частина простору, яку обмежують грані багатогранника. Обсяг будь призми, незалежно від форми її заснування і бічних сторін, може бути визначений по наступній формулі:
V = S 0 x h Тобто достатньо помножити площу однієї підстави на висоту всієї фігури, щоб отримати шукане значення обсягу. Для випадку трикутної призми отримуємо наступний вираз для V: V = S 0 x h = S 3 x h = ?3 /4 x a 2 x h Записана формула для V, а також вираз для S в попередньому пункті залежать від двох параметрів фігури: довжин a і h. Тобто знання всього двох будь-яких лінійних параметрів дозволяє розрахувати всі властивості досліджуваної призми.

Рішення завдання

У фізиці правильна трикутна призма, виготовлена з суцільного скла, часто застосовується для розкладання електромагнітного потоку у видимій області спектра на низку частот з метою їх вивчення. Необхідно визначити, який обсяг скла знадобиться, щоб виготовити призму з площею поверхні 300 см 2 і довжиною сторони основи 10 див. Спочатку визначимо висоту призми h. Скористаємося формулою для S, маємо: S = ?3 /2 x a 2 + 3 x a x h => h = (S - ?3 /2 x a 2 ) /(3 x a) = (300 - ?3 /2 x 10 2 ) /(3 x 10) = 711 см Оскільки ми знаємо значення a і h, то для визначення об'єму призми скористаємося формулою для V: V = ?3 /4 x a 2 x h = ?3 /4 x 10 2 x 711 = 30787 см 3 Таким чином, щоб виготовити описану призму, знадобиться близько 308 см 3 скла.