Використання простих механізмів у фізиці дозволяє вивчати різні природні процеси і закони. Одним з цих механізмів є машина Атвуда. Розглянемо у статті, що вона собою являє, для чого використовується, і які формули описують принцип її роботи.

Що таке машина Атвуда?

Названа машина являє собою простий механізм, що складається з двох вантажів, які з'єднані перекинутої через нерухомий блок ниткою (мотузкою). У даному визначенні слід пояснити кілька нюансів. По-перше, маси вантажів у загальному випадку є різними, що забезпечує наявність у них прискорення під дією сили тяжіння. По-друге, нитка, що зв'язує вантажі, вважається невагомою і нерозтяжній. Ці припущення значно полегшують наступні розрахунки рівнянь руху. Нарешті, по-третє, нерухомий блок, через який перекинута нитка, також вважається невагомим. Крім того, під час його обертання нехтують силою тертя. Нижче на схематичному малюнку показана ця машина.


Машина Атвуда була винайдена англійським фізиком Джорджем Атвудом в наприкінці XVIII століття. Служить вона для вивчення законів поступального руху, точного визначення прискорення вільного падіння та експериментальної перевірки другого закону Ньютона.

Рівняння динаміки

Кожен школяр знає, що прискорення у тіл з'являється тільки в тому випадку, якщо на них чинять дію зовнішні сили. Даний факт був встановлений Ісааком Ньютоном в XVII столітті. Вчений виклав його в наступному математичному вигляді: F = m*a. Де m – інерційна маса тіла, a – прискорення. Вивчення законів поступального руху на машині Атвуда передбачає знання відповідних рівнянь динаміки для неї. Припустимо, що маси двох вантажів дорівнюють m 1 і m 2 , причому m 1 >m 2 . У такому випадку перший вантаж буде переміщатися вниз під дією сили тяжіння, а другий вантаж буде рухатися вгору під дією сили натягу нитки.


Розглянемо, які сили діють на перший вантаж. Їх дві: сила тяжіння F 1 та сила натягу нитки T. Сили спрямовані в різних напрямках. Враховуючи знак прискорення a, з яким переміщується вантаж, отримуємо наступне рівняння руху для нього: F 1 – T = m 1 *a. Що стосується другого вантажу, то на нього діють сили тієї ж природи, що і на перший. Оскільки другий вантаж рухається з прискоренням a, спрямованим вгору, то рівняння динаміки для нього приймає вигляд: T – F 2 = m 2 *a. Таким чином, ми записали два рівняння, в яких містяться дві невідомі величини (a і T). Це означає, що система має однозначне рішення, яке буде отримано далі в статті.

Розрахунок рівнянь динаміки для равноускоренного руху

Як ми бачили із записаних вище рівнянь, результуюча сила, діюча на кожен вантаж, залишається незмінною в процесі всього руху. Маса кожного вантажу також не змінюється. Це означає, що прискорення a буде постійним. Такий рух називають рівноприскореним. Вивчення равноускоренного руху на машині Атвуда полягає у визначенні цього прискорення. Запишемо ще раз систему динамічних рівнянь: F 1 – T = m 1 *a; T – F 2 = m 2 *a. Щоб виразити значення прискорення a, складемо обидва рівності, отримуємо: F 1 – F 2 = a*(m 1 + m 2 ) => a = (F 1 – F 2 )/(m 1 + m 2 ). Підставляючи явне значення сил тяжіння для кожного вантажу, отримуємо кінцеву формулу для визначення прискорення: a = g*(m 1 – m 2 )/(m 1 + m 2 ). Відношення різниці мас до їх сумі називають числом Атвуда. Позначимо його n a , тоді отримаємо: a = n a *g.

Перевірка рішення рівнянь динаміки

Вище ми визначили формулу для прискорення машини Атвуда. Вона є справедливою лише в тому випадку, якщо справедливий сам закон Ньютона. Перевірити цей факт можна на практиці, якщо провести лабораторну роботу з вимірювання певних величин.
Лабораторна робота з машиною Атвуда є досить простою. Суть її полягає в наступному: як тільки вантажі, що знаходяться на одному рівні від поверхні, відпустили, необхідно засікти час руху вантажів секундоміром, а потім виміряти відстань, на яке перемістився будь вантажів. Припустимо, що відповідають час і відстань дорівнюють t і h. Тоді можна записати кинематическое рівняння равноускоренного руху: h = a*t 2 /2. Звідки прискорення визначається однозначно: a = 2*h/t 2 . Зазначимо, що для збільшення точності визначення величини a, слід проводити кілька експериментів по вимірюванню h i і t i , де i – номер вимірювання. Після обчислення значень a i слід розрахувати середню величину a cp з виразу: a cp = ? i=1 m a i /m. Де m – кількість вимірювань. Прирівнюючи це рівність і отримане раніше, приходимо до наступного виразу: a cp = n a *g. Якщо даний вираз виявляється справедливим, то таким також буде і другий закон Ньютона.

Розрахунок сили тяжіння

Вище ми припустили, що значення прискорення вільного падіння g нам відомо. Однак за допомогою машини Атвуда визначення сили тяжіння також виявляється можливим. Для цього замість прискорення a з рівнянь динаміки слід виразити величину g, маємо:
g = a/n a . Щоб знайти g, слід знати, чому дорівнює прискорення поступального переміщення. У пункті вище ми вже показали, як його знаходити експериментальним шляхом з рівняння кінематики. Підставляючи формулу для a в рівність для g, маємо: g = 2*h/(t 2 *n a ). Обчисливши значення g, нескладно визначити силу тяжіння. Наприклад, для першого вантажу її величина буде дорівнює: F 1 = 2*h*m 1 /(t 2 *n a ).

Визначення сили натягу нитки

Сила T натягу нитки є одним з невідомих параметрів системи динамічних рівнянь. Випишемо ще раз ці рівняння: F 1 – T = m 1 *a; T – F 2 = m 2 *a. Якщо в кожному рівність висловити a, і прирівняти обидва вирази, тоді отримаємо: (F 1 – T)/m 1 = (T – F 2 )/m 2 => T = (m 2 *F 1 + m 1 *F 2 )/(m 1 + m 2 ). Підставляючи явні значення сил ваги вантажів, приходимо до кінцевої формули для сили натягу нитки T: T = 2*m 1 *m 2 *g/(m 1 + m 2 ). Машина Атвуда має не тільки теоретичну користь. Так, підйомник (ліфт) використовують при своїй роботі контргруз з метою підйому на висоту корисного вантажу. Така конструкція значно полегшує роботу двигуна.