Парадокс Бертрана — проблема в класичній інтерпретації з теорії ймовірностей. Джозеф представив його в своїй роботі Calcul des probabilit?s (1889) в якості прикладу, що ймовірності не можуть бути чітко визначені, якщо механізм або метод виробляють випадкову змінну.

Постановка проблеми

Парадокс Бертрана полягає в наступному. Для початку необхідно розглянути рівносторонній трикутник, вписаний в коло. При цьому діаметр обраний випадковим чином. Яка ймовірність того, що вона довша сторони трикутника? Бертран навів три аргументи, всі вони, мабуть, вірні, але дали різні результати.

Метод «випадкових кінцевих точок»

Необхідно вибрати два місця на окружності і намалювати дугу, що сполучає їх. Для розрахунку розглядається парадокс ймовірності Бертрана. Необхідно уявити, що трикутник повернутий так, що його вершина збігається з однією з кінцевих точок хорди. Варто звернути увагу, що, якщо інша частина знаходиться на дузі між двома місцями, окружність довші сторони трикутника. Довжина дуги одна третина колу, тому ймовірність того, що випадкова хорда триваліше, дорівнює 1/3.

Метод вибору

Необхідно вибрати радіус кола і точку на ньому. Після цього потрібно побудувати акорд через це місце, перпендикулярно діаметру. Щоб обчислити розглянутий парадокс Бертрана теорії ймовірності, потрібно уявити, що трикутник повернутий так, що сторона перпендикулярна радіусу. Хорда довше катета, якщо обрана точка знаходиться ближче до центру кола. І в цьому випадку сторона трикутника ділить навпіл радіус. Тому ймовірність, що хорда довші сторони вписаного фігури, дорівнює 1/2.

Випадкові акорди

Метод середньої точки. Необхідно вибрати місце на колі і створити акорд із заданою серединою. Вісь триваліше краю вписаного трикутника, у разі, якщо підібране місце знаходиться в межах концентричному колі радіуса 1/2. Площа меншого кола є однією четвертою більшої фігури. Тому ймовірністю випадкової хорди довше, ніж сторона вписаного трикутника, дорівнює 1/4.


Як представлено вище, методи вибору відрізняються за вагою, який вони дають певним акордам, які є діаметрами. У методі 1 кожен акорд може бути обраний точно одним способом, незалежно від того, є він діаметром. У методі 2 кожна пряма лінія може бути обрана двома способами. Тоді як будь-який інший акорд буде обиратися лише однією з можливостей. У методі 3 кожному вибором середньої точки відповідає єдиний параметр. За винятком центру кола, який є серединою всіх діаметрів. Цих проблем можна уникнути, «упорядкувавши» всі питання, щоб виключити параметри, не впливаючи на результуючі ймовірності. Методи вибору також можуть бути візуалізовані наступним чином. Акорд, який не є діаметром, однозначно ідентифікується по його середній точці. Кожен з трьох методів вибору, представлених вище, дає різне розподіл середини. А 1 і 2 варіанти надають два різних неоднорідних поділу, в той час, як метод 3 дає рівномірний розподіл.
Класичний парадокс вирішення проблеми Бертрана залежить від методу, яким акорд вибирається «навмання». Виявляється, що, якщо заздалегідь зазначений спосіб випадкового відбору, задача має чітко певне рішення. Це пов'язано з тим, що у кожного окремого методу свій розподіл акордів. Три постанови, продемонстровані Бертраном, відповідають різним способам відбору і при відсутності додаткової інформації немає підстав віддавати перевагу одному над іншим. Відповідно, заявлена проблема не має єдиного рішення. Приклад того, як зробити загальний відповідь унікальним полягає в тому, щоб вказати, що кінцеві точки хорди рівномірно розподілені між 0 і c, де c - окружність кола. Це розподіл таке ж, що і в першому аргументі Бертрана, і отримана унікальна ймовірність буде 1/3. Цей парадокс Бертрана Рассела та інші унікальності класичної інтерпретації можливості виправдовують більш строгі формулювання. Включаючи частоту ймовірності та субъективистскую байєсівську теорію.

Що лежить в основі парадоксу Бертрана

У своїй статті 1973 року «Добре поставлена проблема» Едвін Джейнс запропонував своє унікальне рішення. Він зазначив, що в основі парадоксу Бертрана лежить передумова, заснована на принципі «максимального невігластва». Це означає, що не слід використовувати яку-небудь інформацію, яка наводиться у формулюванні проблем. Джейнс зазначив, що завдання Бертрана не визначає положення або розмір кола. І стверджував, що тому будь-яке визначене та об'єктивне рішення повинно бути «байдужим» до розміру та положення.

Для ілюстрації

Варто припустити, що всі акорди стягнуто випадковим чином коло діаметром 2 сантиметри, тепер необхідно кидати в нього соломинки здалеку. Потім потрібно взяти інший коло з меншим діаметром (наприклад, 1 сантиметр), який укладається у велику фігуру. Тоді розподіл акордів на цьому меншому колі повинно бути таким же, як на максимальному. Якщо друга фігура також переміщується всередині першої, ймовірність, в принципі, не повинна змінюватися. Дуже легко побачити, що для методу 3 відбудеться наступна зміна: розподіл акордів на маленькому червоному колі буде якісно відрізнятися від поділу на великій окружності. Те ж саме відбувається для методу 1. Хоча це і важче побачити в графічному поданні. Метод 2 є єдиним, який виявляється одночасно масштабним і трансляційний інваріантом. Спосіб під номером 3 представляється просто розширюваним. А ось метод 1 не є ні тим, ні іншим. Тим не менш Джейнс непросто використовував інваріанти, щоб прийняти або відхилити дані способи. Це залишило б можливість того, що є ще один неописаний метод, який би відповідав його аспектів розумного значення. Джейнс застосовував інтегральні рівняння, що описують інваріантності. Щоб безпосередньо визначити розподіл ймовірностей. В його задачі інтегральні рівняння дійсно мають єдине рішення, і це саме те, що вище було названо другим методом випадкового радіусу.

У статті за 2015 рік Алон Дрори стверджує, що принцип Джейнса також може дати два інші рішення Бертранда. Автор запевняє, що математична реалізація вищезазначених властивостей інваріантності не унікальна, а залежить від базової процедури випадкового вибору, яку чоловік вирішив використовувати. Він показує, що кожне з трьох рішень Бертрана може бути отримано із застосуванням обертальної, масштабирующей і поступальної інваріантності. При цьому стверджуючи, що принцип Джейнса так само піддається інтерпретації, як і сам спосіб байдужості.

Фізичні експерименти

Метод 2 є єдиним рішенням, яке задовольняє инвариантам перетворень, які присутні в конкретних фізіологічних концепціях, таких як статистична механіка і структура газу. А також у запропонованому Джейнсом експерименті по викиданню соломинок з невеликого кола. Тим не менше можна розробити інші практичні експерименти, які дають відповіді у відповідності з іншими способами. Наприклад, щоб прийти до вирішення першого методу випадкових кінцевих точок, можна прикріпити лічильник до центру області. І дозволити підсумками двох самостійних обертань виділити остаточні місця хорди. Щоб прийти до вирішення третього методу, можна покрити коло, наприклад, патокою і відзначити першу точку, на яку сідає муха, як середню хорди. Кілька споглядальників створили дослідження з метою отримання різних висновків і підтвердили результати емпірично.

Останні події

У своїй статті 2007 року «Парадокс Бертрана і принцип байдужості» Ніколас Шакель стверджує, що через більш ніж століття завдання все ще залишається невирішеною. Вона продовжує спростовувати принцип байдужості. Крім того, у своїй статті 2013 року «Переглянутий парадокс Бертрана Рассела: чому всі рішення застосовуються на практиці», Даррелл Р. Роботтом показує, що всі запропоновані постанови ніяк не відносяться до його власного питання. Так виявилося, що парадокс буде набагато складніше вирішити, ніж передбачалося раніше. Шакель підкреслює, що до цих пір багато хто вчені й далекі від науки люди намагалися розв'язати парадокс Бертрана. Долається він все так само за допомогою двох різних підходів. Ті, в яких розглядалася відмінність між нееквівалентними проблемами, і ті, в яких завдання весь час вважалася коректною. Шакель у своїх книгах цитує Луї Мариноффа (як типового представника стратегії розмежування) і Едвіна Джейнса (як автора добре продуманої теорії). Тим не менш у недавній роботі «Рішення складної проблеми» Дідерік Aerts і Массіміліано Сассоли де Бьянкі вважають, що для вирішення парадоксу Бертрана, передумови необхідно шукати в змішаної стратегії. Згідно з цим авторам, спочатку потрібного усунути проблему, чітко вказавши природу сутності, яка піддається рандомізації. І тільки після того, як це буде зроблено, будь-яка задача може вважатися коректним. Саме так вважає Джейнс. Так що принцип максимального невігластва може бути використаний для її вирішення. З цією метою, і оскільки проблема не визначає, як повинен бути обраний акорд, принцип застосовується не на рівні різних можливих варіантів, а на набагато більш глибокому.

Вибірка частин

Ця частина в задачі вимагає розрахунку мета-середнього по всім можливим способам, які автори називають універсальним середнім. Щоб справитися з цим, вони використовують метод дискретизації. Натхненний тим, що робиться у визначенні закону ймовірності в винеровских процесах. Отриманий ними результат узгоджується з чисельною наслідком Джейнса, хоча їх добре поставлена задача відрізняється від початкової, авторської. В економіці і комерції, парадокс Бертрана, названий на честь його творця Джозефа Бертрана описує ситуацію, в якій два гравця (фірми) досягають стану рівноваги Неша. Коли обидва підприємства встановлюють ціну, рівну граничним витратам (МС). В основі парадоксу Бертрана лежить передумова. Вона полягає в тому, що в таких моделях, як конкуренція Курно, збільшення числа фірм пов'язано зі зближенням цін з граничними витратами. У цих альтернативних моделях парадокс Бертрана знаходиться в олігополії невеликої кількості фірм, які отримують позитивну прибуток, стягуючи ціни вище собівартості. Для початку варто припустити, що дві фірми A і B продають однорідний товар, кожна з яких має однакову вартість виробництва і розподілу. З цього випливає, що покупці вибирають товар, виключно виходячи з ціни. А це означає, що попит нескінченно еластичний по вартості. Ні А, ні В не будуть встановлювати більш високу ціну, ніж інші, тому що це призведе до того, що весь парадокс Бертрана завалиться. Один з учасників ринку поступиться своєму конкуренту. Якщо вони встановлять однакову ціну, компанії будуть розділяти прибуток. З іншого боку, якщо яка-небудь фірма хоча б трохи знизить свою ціну, вона отримає весь ринок і суттєво більшу віддачу. Оскільки A і B знають про це, кожен з них буде намагатися підрізати конкурента, поки продукт не буде продаватися з нульовим економічним прибутком. Недавня робота показала, що може існувати додаткове рівновагу в парадокс Бертрана зі змішаною стратегією, з позитивної економічної прибутком за умови, що монопольна сума нескінченна. Для випадку кінцевого прибутку було показано, що позитивна надбавка в умовах цінової конкуренції неможлива в змішаних рівноваги і навіть у більш загальному випадку корельованих систем. Насправді парадокс Бертрана в економіці рідко зустрічається на практиці, тому що реальні продукти майже завжди диференціюються яким-небудь іншим чином, крім ціни (наприклад, переплата за лейбл). Фірми мають обмеження на свої можливості по виробництву і розповсюдженню. Саме тому два підприємства рідко мають однакові витрати. Результат Бертрана парадоксальний, тому що, якщо число фірм збільшується від однієї до двох, ціна знижується від монопольної до конкурентної і залишається на тому ж рівні, що і число підприємств, що збільшуються в подальшому. Це не дуже реалістично, оскільки у дійсності ринки з невеликою кількістю фірм, що володіють ринковою владою, зазвичай встановлюють ціну, що перевищує граничні витрати. Емпіричний аналіз показує, що в більшості галузей з двома конкурентами виходять позитивні прибутку. У сучасному світі вчені намагаються знайти вирішення парадоксу, які більшою мірою відповідають моделі конкуренції Курно. Де дві фірми на ринку отримують позитивну прибуток, яка знаходиться десь між абсолютно конкурентним і монопольним рівнями. Деякі причини, по яким парадокс Бертрана не має прямого відношення до економіки:

Обмеження ємності. Іноді фірми не мають достатніх можливостей для задоволення всього попиту. Цей момент був вперше піднятий Френсісом Эджвортом і дав початок моделі Бертрана-Еджворта.

Цілочисельні ціни. Ціни вище MC виключені, тому що одна фірма може підрізати іншу на довільно невелику суму. Якщо ціни є дискретними (наприклад, повинні приймати цілочисельні значення), то одна фірма повинна підрізати іншу не менш ніж на один рубль. Це передбачає, що вартість на дрібну валюту вище MC. Якщо ж інша фірма встановлює ціну на неї вище, інше підприємство може знизити її і захопити весь ринок, парадокс Бертрана полягає саме в цьому. Це не завдасть їй ніякої прибутку. Це підприємство захоче поділитися продажами 50/50 з іншою фірмою і отримувати суто позитивну виручку.

Диференціація продуктів. Якщо товари різних фірм відрізняються один від одного, то споживачі можуть не повністю переключатися на продукти з більш низькою ціною.

Динамічна конкуренція. Повторне взаємодія або неодноразове цінове суперництво може привести до рівноваги вартості.

Більше товару за більш високу суму. Це випливає з повторюваного взаємодії. Якщо одна компанія встановлює свою ціну трохи вище, вона все одно буде отримувати приблизно однакову кількість покупок, але більший прибуток за кожен товар. Тому інша компанія буде підвищувати свою націнку і т. д. (Тільки у повторних іграх, в іншому випадку динаміка йде в іншому напрямку).

Олігополія

Якщо дві компанії можуть домовитися про ціну, то в їх довгострокових інтересах зберегти угоду: дохід від зниження вартості менш ніж у два рази перевищує виручку від дотримання угоди і триває лише до тих пір, поки інша фірма не знизить свої ціни. Теорія ймовірностей (як і решта математики) насправді є недавнім винаходом. І розвиток не був гладким. Перші спроби формалізувати обчислення ймовірності були зроблені Маркізом де Лапласом, який запропонував визначити поняття як відношення числа подій, що приводять до результату. Це, звичайно, має сенс тільки в тому випадку, якщо число всіх можливих заходів звичайно. І, крім того, всі події однаково ймовірні. Таким чином, у той час дані поняття, здавалося, не мали міцної основи. Спроби поширити визначення на випадок нескінченного числа подій призвели до ще більших труднощів. Парадокс Бертрана є одним з таких відкриттів, яке змусило математиків насторожено ставитися до всього поняттю ймовірності.