Львів
C
» » Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Парадокс Рассела представляє дві взаємозалежні логічні антиномії.

Дві форми парадоксу Рассела

Найбільш часто обговорюваної формою є протиріччя в логіці множин. Одні безлічі, здається, можуть бути членами самих себе, а інші – ні. Безліч всіх множин саме є множиною, тому здається, що воно відноситься до самого собі. Нульове або пусте, однак, не повинно бути членом самого себе. Тому безліч всіх множин, як і нульове, не входить сама в себе. Парадокс виникає при питанні про те, чи є безліч членом самого себе. Це можливо тоді і тільки тоді, коли це не так.


Інша форма парадокса являє собою протиріччя, що стосується властивостей. Деякі властивості, здається, належать до себе, в той час як інші-ні. Властивість бути властивістю саме по собі є властивістю, в той час як властивість бути кішкою нею не є. Розглянемо властивість мати властивість, яке не відноситься до себе. Стосується воно до самого себе? Знову ж таки, з будь-якого припущення випливає протилежне. Парадокс був названий на честь Бертрана Рассела (1872-1970), який відкрив його у 1901 році.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Історія

Відкриття Рассела сталося під час його роботи над «Принципів математики». Хоча він виявив парадокс самостійно, є докази того, що інші математики і розробники теорії множин, включаючи Ернста Цермело і Давида Гільберта, знали про першої версії протиріччя раніше за нього. Рассел, однак, був першим, хто детально обговорив парадокс у своїх опублікованих роботах, першим спробував сформулювати рішення і першим в повній мірі оцінив його значимість. Ціла глава «Принципів» була присвячена обговоренню цього питання, а додаток було присвячено теорії типів, яку Рассел запропонував в якості рішення.


Рассел виявив «парадокс брехуна», розглядаючи теорему множин Кантора, яка свідчить про те, що потужність будь-якого безлічі менше, ніж безлічі його підмножин. Принаймні, в домені повинно бути стільки ж підмножин, скільки в ньому є елементи, якщо для кожного елемента одне підмножина буде множиною, що містить тільки цей елемент. Крім того, Кантор довів, що число елементів не може бути рівним числу підмножин. Якби їх була однакова кількість, то повинна була б існувати функція ?, яка б відображала елементи на їх підмножини. У той же час можна довести, що це неможливо. Деякі елементи можуть відображатися функцією ? на підмножини, які містять їх, тоді як інші не можуть. Розглянемо підмножину елементів, які не належать своїм образам, які їх відображає ?. Воно саме по собі є підмножиною елементів, і, отже, функція ? мала б відобразити його на деякий елемент в домені. Проблема полягає у тому, що тоді виникає питання про те, чи належить цей елемент підмножині, на яке відображає його ?. Це можливо тільки в тому випадку, якщо він не належить. Парадокс Рассела можна розглядати як приклад такої ж лінії міркувань, тільки спрощений. Чого більше – множин або підмножин множин? Здавалося б, що повинно бути більше множин, так як всі підмножини множини самі є множинами. Але якщо теорема Кантора вірна, то повинно існувати більше підмножин. Рассел розглядав найпростіше відображення множин на самих себе і застосував канторианский підхід розгляду безлічі всіх цих елементів, що не входять у набори, в які вони відображаються. Відображення Рассела стає безліччю всіх множин, які не входять.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Помилка Фреге

«Парадокс брехуна» мав глибокі наслідки для історичного розвитку теорії множин. Він показав, що поняття універсальної множини є вкрай проблематичним. Він також поставив під сумнів поняття про те, що для кожного обумовленого умови або предиката можна припустити існування безлічі тільки тих речей, які задовольняють цій умові. Варіант парадоксу, що стосується властивостей – природне продовження версії з множинами – викликав серйозні сумніви з приводу того, можна стверджувати про об'єктивному існуванні властивості або універсального відповідності кожного визначається умовою або предикату. Незабаром були знайдені протиріччя і проблеми в роботах тих логіків, філософів і математиків, які робили подібні припущення. У 1902 році Рассел виявив, що варіант парадоксу можна виразити в логічній системі, розробленої у I томі Готтлоба Фреге «Основи арифметики», однією з головних робіт за логікою кінця XIX – початку XX століття. У філософії Фреге безліч розуміється як «розширення» чи «значення-діапазон» поняття. Поняття є найближчими коррелятами до властивостям. Передбачається, що вони існують для кожного заданого стану або предиката. Таким чином, існує поняття множини, яка не підпадає під його визначальне поняття. Існує також клас, який визначається цим поняттям, і він підпадає під визначає його поняття тільки в разі, якщо це не так.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання
Рассел написав Фреге про це суперечності в червні 1902 р. Листування стала однією з найцікавіших і найбільш обговорюваних в історії логіки. Фреге негайно визнав катастрофічні наслідки парадоксу. Він зазначив, однак, що версія протиріччя, що стосується властивостей, у його філософії була вирішена шляхом розрізнення рівнів понять. Фреге поняття розумів як функції переходу від аргументів до значень істинності. Поняття першого рівня приймають в якості аргументів об'єкти, поняття другого рівня приймають в якості аргументів ці функції і так далі. Таким чином, поняття ніколи не може взяти себе в якості аргументу, а парадокс щодо властивостей не може бути сформульоване. Тим не менш безлічі, розширення або поняття розумілися Фреге як відносяться до того ж логічного типу, що і всі інші об'єкти. Тоді для кожного безлічі виникає питання, чи підпадає воно під визначає його поняття. Коли Фреге отримав перший лист Рассела, другий том «Основ арифметики» вже закінчував друкуватися. Він був змушений швидко підготувати додаток, що дає відповідь на парадокс Рассела. Приклади Фреге містили ряд можливих рішень. Але він прийшов до висновку, ослабившему поняття абстракції множини в логічній системі. В оригіналі можна було прийти до висновку, що об'єкт належить множині тоді і тільки тоді, коли він підпадає під поняття, його визначальне. В переглянутій системі можна лише зробити висновок, що об'єкт належить множині тоді і тільки тоді, коли він підпадає під поняття визначає множини, а не безлічі, про який йде мова. Парадокс Рассела не виникає. Рішення, однак, не зовсім задовольнило Фреге. І цьому була причина. Кілька років потому для переглянутої системи була знайдена більш складна форма суперечності. Але ще до того, як це сталося, Фреге відмовився від свого рішення і, здається, прийшов до висновку, що його підхід був просто непрацездатний, і що логікам доведеться обійтися взагалі без множин. Тим не менш були запропоновані інші, відносно більш успішні альтернативні рішення. Вони обговорюються нижче.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Теорія типів

Вище було відзначено, що у Фреге був адекватну відповідь на парадокси теорії множин у варіанті, сформульованому властивостей. Відповідь Фреге передував найбільш часто обговорюваного вирішення цієї форми парадоксу. Воно засноване на тому, що властивості підпадають під різні типи і що тип властивості ніколи не буває таким же, як елементи, до яких він відноситься. Таким чином, навіть не виникає питання, чи можна застосувати властивість до самого себе. Логічний мова, яка розділяє елементи такої ієрархії, використовує теорію типів. Хоча вона вже використовується у Фреге, вперше її повністю роз'яснив і обґрунтував Рассел Додатку до «Принципів». Теорія типів була більш повною, ніж розрізнення рівнів Фреге. Вона розділяла властивості не тільки на різні логічні типи, але також і множини. Теорія типів дозволила протиріччя в парадоксі Рассела наступним чином. Для того щоб бути філософськи адекватним, прийняття теорії типів властивостей вимагає розробки теорії про характер властивостей таким чином, щоб можна було пояснити, чому вони не можуть застосовуватися самі до себе. На перший погляд має сенс предицировать своє власне властивість. Властивість бути самотождественним, здавалося б, також є самотождественним. Властивість бути приємним здається приємним. Точно так само, мабуть, здається помилковим казати про те, що властивість бути кішкою є кішкою. Тим не менш різні мислителі обґрунтовували розподіл типів по-різному. Рассел навіть давав різні пояснення в різний час своєї кар'єри. Зі свого боку, обґрунтування поділу Фреге різних рівнів понять виходить з його теорії ненасиченості понять. Поняття, функції, по суті, є неповними. Щоб надати значення, їм потрібен аргумент. Не можна просто предицировать одне поняття поняттям того ж типу, оскільки воно все ще вимагає свого аргументу. Наприклад, хоча ще можливо витягти квадратний корінь з квадратного кореня деякого числа, просто неможливо застосовувати функцію квадратного кореня до функції квадратного кореня і отримати результат.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Про консерватизм властивостей

Іншим можливим рішенням парадоксу властивостей є заперечення існування властивості згідно з будь-якими заданими умовами або добре сформованим предикатом. Звичайно, якщо хтось цурається метафізичних властивостей як об'єктивних і незалежних елементів в цілому, то, якщо прийняти номіналізм, парадоксу можна повністю уникнути. Однак для вирішення антиномії не потрібно бути настільки екстремальним. Логічні системи вищого порядку, розроблені Фреге і Расселом, містили, що називається, понятійний принцип, згідно з яким для кожної відкритої формули, незалежно від того, наскільки вона складна, існує як елемент властивість або поняття на прикладі тільки тих речей, які задовольняють формулою. Вони застосовувалися до атрибутів будь-якого можливого набору умов або предикатів, незалежно від того, наскільки вони були складними. Тим не менше можна було б прийняти більш сувору метафізику властивостей, надаючи право об'єктивного існування простих властивостей, включаючи, наприклад, такі як червоний колір, твердість, доброта тощо, Можна навіть дозволити цим властивостям застосовуватися до самих себе, наприклад, доброта може бути доброю. А той самий статус для складних атрибутів можна заперечувати, наприклад, для таких «властивостей», як мати-сімнадцять-голів, бути написаним під водою і т. д. В цьому випадку ніяке заданий умова не відповідає властивості, понимаемому як окремо існуючий елемент, що володіє своїми власними властивостями. Таким чином можна заперечувати існування простого властивості бути-властивістю-яке-не-застосовно до себе та уникнути парадоксу шляхом застосування більш консервативною метафізики властивостей.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Парадокс Рассела: рішення

Вище було відзначено, що в кінці свого життя Фреге повністю відмовився від логіки множин. Це, звичайно, одне рішення антиномії у формі множин: просте заперечення існування таких елементів у цілому. Крім цього, є й інші популярні рішення, основні відомості про які подано нижче.

Теорія типів для множин

Як згадувалося раніше, Рассел виступав за повну теорію типів, яка б розділяла не лише властивості або поняття на різні типи, але також і множини. Рассел ділив множини на безлічі окремих об'єктів, безлічі множин окремих об'єктів і т. д. Безлічі не вважалися об'єктами, а безлічі множин – множинами. Безліч ніколи не володіло типом, що дозволяє мати в якості члена самого себе. Тому немає множини всіх множин, які не є власними членами, тому що для будь-якого безлічі питання про те, чи є воно своїм членом, сам по собі є порушенням типу. Знову ж таки, проблема тут полягає в роз'ясненні метафізики множин для того, щоб пояснити філософські підстави поділу на типи.

Стратифікація

У 1937 році Ст. Ст. Куайн запропонував альтернативне рішення, в деякому роді схожий на теорію типів. Основні відомості про нього такі. Поділ елементом, множин та ін. проводиться таким чином, що припущення про знаходження множини в собі завжди є неправильним або безглуздим. Множини можуть існувати лише за умови, коли визначальні умови не є порушенням типів. Таким чином, для Куайна вираз «х не є членом х» є значущим твердженням, що не передбачає існування безлічі всіх елементів х, що задовольняють цій умові. В даній системі існує безліч для деякій відкритій формули А тоді і тільки тоді, коли вона стратифікована, тобто якщо змінним присвоєні натуральні числа таким чином, що для кожної ознаки входження в безліч передує йому змінної присвоюється призначення на одиницю менше, ніж змінної, наступного після нього. Це блокує парадокс Рассела, оскільки у формулі, що використовується для визначення проблемного множини, є одна і та ж змінна до і після знака членства, що робить його нестратифицированним. Проте ще належить визначити, чи є результуюча система, яку Куайн називав «Нові основи математичної логіки», несуперечливої.
Парадокс Рассела: основні відомості, приклади, формулювання

Отсортировка

Зовсім інший підхід прийнятий в теорії множин Цермело - Френкеля (ЦФ). Тут теж встановлюється обмеження на існування множин. Замість підходу «зверху вниз» Рассела і Фреге, які спочатку вважали, що для будь-якого поняття, властивості або умови можна припустити існування безлічі всіх речей з такою властивістю або задовольняє такій умові, ЦФ-теорії все починається «знизу вгору». Окремі елементи і пусте безліч утворюють безліч. Тому, на відміну від ранніх систем Рассела і Фреге, ЦФ не відноситься до універсального безлічі, яке включає всі елементи і навіть всі множини. ЦФ встановлює жорсткі обмеження на існування множин. Можуть існувати тільки ті з них, для яких це явно постулировано або які можуть бути складені з допомогою ітераційних процесів і т. д. Потім, замість поняття абстракції наївного множини, яке свідчить про те, що елемент включений в певну безліч тоді і тільки тоді, коли він відповідає визначає умови, в ЦФ використовується принцип поділу, виділення або «відсортування». Замість припущення про існування безлічі всіх елементів, які без винятків задовольняють деякій умові, для кожного вже існуючого безлічі, отсортировка говорить про існування підмножини всіх елементів в оригінальному множині, яке задовольняє умові. Потім вступає принцип абстракції: якщо множина A існує, то для всіх елементів х в А, х належить підмножині А, яке задовольняє умові С тоді і тільки тоді, коли х задовольняє умові С. Такий підхід вирішує парадокс Рассела, оскільки ми не можемо просто припускати, що є безліч всіх множин, які не є членами самих себе. Маючи безліч множин, можна виділити або поділити його на безлічі, які знаходяться в собі, і на ті, які такими не є, але так як не існує універсальної множини, ми не пов'язані безліччю всіх множин. Без допущення проблемного безлічі Рассела суперечність не може бути доведено.

Інші рішення

Крім того, мали місце наступні розширення або модифікації всіх цих рішень, такі як розгалуження теорії типів «Принципів математики», розширення системи «Математичної логіки» Куайна, а також більш пізні розробки в теорії множин, зроблені Бернайсом, Геделем і фон Нейманом. Питання про те, чи знайдений відповідь на нерозв'язний парадокс Бертрана Рассела, як і раніше є предметом дискусій.