Курс математики готує школярам масу сюрпризів, один з яких – це завдання з теорії ймовірності. З вирішенням подібних завдань в учнів виникає проблема практично в ста відсотках випадків. Щоб розуміти і розбиратися в цьому питанні, необхідно знати основні правила, аксіоми, визначення. Для розуміння тексту в книзі, потрібно знати всі скорочення. Всього цього ми і пропонуємо навчитися.
Наука та її застосування
Так як ми пропонуємо прискорений курс «теорія ймовірності для чайників», то спочатку необхідно ввести основні поняття і літерні скорочення. Для початку визначимося з самим поняттям «теорія ймовірності». Що ж це за наука і для чого вона потрібна? Теорія ймовірності – це один з розділів математики, який вивчає випадкові явища і величини. Так само вона розглядає закономірності, властивості та операції, що здійснюються з цими випадковими величинами. Для чого вона потрібна? Широке поширення наука отримала у вивченні природних явищ. Будь-які природні і фізичні процеси не обходяться без присутності випадковості. Навіть якщо під час досліду були максимально точно зареєстровані результати, при повторі того ж випробування, результат з великою ймовірністю не буде таким же.
Приклади задач з теорії ймовірності ми обов'язково розглянемо, ви самі зможете в цьому переконатися. Результат залежить від безлічі різних факторів, які практично неможливо врахувати або зареєструвати, але тим не менш вони чинять найбільший вплив на результат досвіду. Яскравими прикладами можуть служити задачі визначення траєкторії руху планет або визначення прогнозу погоди, ймовірність зустріти знайомого людини під час шляху на роботу і визначення висоти стрибка спортсмена. Так само теорія вірогідності надає велику допомогу брокерам на фондових біржах. Завдання з теорії ймовірності, з рішенням якої раніше виникало багато проблем, стане для вас справжньою дрібницею після трьох-чотирьох прикладів, наведених нижче.
Події
Як вже говорилося раніше, наука вивчає події. Теорія ймовірностей, приклади розв'язання задач ми розглянемо трохи пізніше, вивчає лише один вид – випадкові. Але тим не менш необхідно знати, що події можуть бути трьох видів:
Неможливі. Достовірні. Випадкові. Пропонуємо трохи обумовити кожен з них. Неможлива подія ніколи не відбудеться, ні при яких умовах. Прикладами можуть служити: замерзання води при плюсовій температурі, витягування кубика з мішка з кулями. Достовірне подія відбувається завжди зі стовідсотковою гарантією, якщо виконані всі умови. Наприклад: ви отримали заробітну плату за виконану роботу, отримали диплом про вищу професійну освіту, якщо сумлінно вчилися, склали іспити та захистили диплом і так далі. З випадковими подіями все трохи складніше: у ході досвіду воно може відбутися або ні, наприклад, витягнути туз з карткової колоди, зробивши не більше трьох спроб. Результат можна отримати як з першої спроби, так і, взагалі, не отримати. Саме ймовірність походження події і вивчає наука.
Ймовірність
Це в загальному сенсі оцінка можливості вдалого результату досвіду, при якому настає подія. Ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо якщо кількісна оцінка неможлива або скрутна. Завдання з теорії ймовірності з рішенням, точніше з оцінкою ймовірності події, передбачає знаходження тієї самої можливої частки благополучного результату. Ймовірність в математиці – це числова характеристики події. Вона приймає значення від нуля до одиниці, позначається буквою Р. Якщо Р дорівнює нулю, то подія статися не може, якщо одиниці, то подія станеться зі стовідсотковою ймовірністю. Чим більше Р наближається до одиниці, тим сильніше ймовірність благополучного результату, і навпаки, якщо близько до нуля, то й подія відбудеться з малою ймовірністю.
Скорочення
Завдання з теорії ймовірності, з рішенням якої ви незабаром зіткнетеся, може містити наступні скорочення:
!; {}; N; Р і Р(Х); А, В, С і т. д; n; m. Можливі і деякі інші: по мірі необхідності будуть вноситись додаткові пояснення. Пропонуємо, для початку, пояснити представлені вище скорочення. Першим в нашому списку зустрічається факторіал. Для того, щоб було зрозуміло, наведемо приклади: 5!=1*2*3*4*5 або 3!=1*2*3. Далі, в фігурних дужках пишуть задані множини, наприклад: {1;2;3;4;;n} або {10;140;400;562}. Наступне позначення – це безліч натуральних чисел, досить часто зустрічається у завданнях з теорії ймовірності. Як вже говорилося раніше, Р – це ймовірність, а Р(Х) – це ймовірність походження події Х. Великими літерами латинського алфавіту позначаються події, наприклад: А – попався білий кулю, В – синій, З – червоний або відповідно , , . Маленька буква n – кількість всіх можливих результатів, а m – кількість благополучних. Звідси й одержуємо правило знаходження класичної ймовірності елементарних завдання: Р=m/n. Теорія ймовірності «для чайників», напевно, і обмежується даними знаннями. Тепер для закріплення переходимо до рішення.
Завдання 1. Комбінаторика
Студентська група нараховує тридцять чоловік, з яких необхідно вибрати старосту, його заступника та профорга. Необхідно знайти кількість способів зробити дану дію. Подібне завдання може зустрітися на ЄДІ. Теорія ймовірності, вирішення завдань якої ми зараз розглядаємо, може включати завдання з курсу комбінаторики, знаходження класичної ймовірності, геометричної та завдання на основні формули. У даному прикладі ми вирішуємо завдання з курсу комбінаторики. Переходимо до рішення. Це завдання просте:
n1=30 – можливих старост студентської групи; n2=29 – ті, хто може зайняти посаду заступника; n3=28 людина претендує на посаду профорга. Все, що нам залишається зробити, це знайти можливу кількість варіантів, тобто перемножити всі показники. В результаті ми отримуємо: 30*29*28=24360. Це і буде відповіддю на поставлене питання.
Завдання 2. Перестановка
На конференції виступають 6 учасників, порядок визначається жеребкуванням. Нам потрібно знайти кількість можливих варіантів жеребкування. В даному прикладі, ми розглядаємо перестановку з шести елементів, тобто нам потрібно знайти 6! У пункті скорочень ми вже згадували, що це таке і як обчислюється. Разом виходить, що існує 720 варіантів жеребкування. На перший погляд важке завдання має цілком коротке і просте рішення. Це і є завдання, які розглядає теорія ймовірності. Як вирішувати завдання більш високого рівня, ми розглянемо в наступних прикладах.
Завдання 3
Групу студентів з двадцяти п'яти чоловік необхідно розбити на три підгрупи по шість, дев'ять і десять чоловік. Ми маємо: n=25 k=3 n1=6 n2=9 n3=10. Залишилося підставити значення в потрібну формулу, ми отримуємо: N25(6910). Після нескладних обчислень ми отримуємо відповідь– 16360143 800. Якщо в завданні не йдеться про те, що необхідно отримати числове рішення, то можна дати його в вигляді факториалов.
Завдання 4
Три людини загадали числа від одного до десяти. Знайдіть ймовірність того, що у кого-то числа співпадуть. Спочатку ми повинні дізнатися число всіх випадків - у нашому випадку це тисяча, тобто в десять третього ступеня. Тепер знайдемо кількість варіантів, коли всі загадали різні числа, для цього перемножуємо десять, дев'ять і вісім. Звідки взялися ці числа? Перший загадує число, у нього є десять варіантів, другий має вже дев'ять, а третьому треба вибирати з восьми, що залишилися, таким чином отримуємо 720 можливих варіантів. Як вже ми вважали раніше, всього варіантів 1000 а без повторень 720 отже, нас цікавлять залишилися 280. Тепер нам потрібна формула знаходження класичної ймовірності: Р= . Ми отримали відповідь: 028.
