Багато хто, зіткнувшись з поняттям «теорія ймовірності», лякаються, думаючи, що це щось непосильний, дуже складне. Але насправді все не так трагічно. Сьогодні ми розглянемо основне поняття теорії ймовірності, навчимося розв'язувати задачі на конкретних прикладах.

Наука

Що ж вивчає такий розділ математики, як «теорія ймовірності»? Вона зазначає закономірності випадкових подій і величин. Вперше цим питанням зацікавилися вчені ще у вісімнадцятому столітті, коли вивчали азартні ігри. Основне поняття теорії ймовірностей – події. Це будь-який факт, який констатується досвідом або наглядом. Але що ж таке досвід? Ще одне основне поняття теорії ймовірності. Воно означає, що цей склад обставин створений не випадково, а з певною метою. Що стосується спостереження, то тут дослідник сам не бере участь у досвіді, а просто є свідком цих подій, він ніяк не впливає на те, що відбувається.

Події

Ми дізналися, що основне поняття теорії ймовірності – це подія, але не розглянули класифікацію. Всі вони поділяються на такі категорії:

Достовірні.

Неможливі.

Випадкові.

Незалежно від того, які це події, за якими спостерігають або створюють у ході досвіду, всі вони схильні до даної класифікації. Пропонуємо з кожним з видів познайомитися окремо.

Достовірне подія

Це така обставина, перед яким зроблений необхідний комплекс заходів. Для того щоб краще вникнути в суть, краще навести кілька прикладів. Цим законом підпорядковані і фізика, і хімія, і економіка, і вища математика. Теорія ймовірності включає таке важливе поняття, як достовірна подія. Наведемо приклади:

Ми працюємо і отримуємо винагороду у вигляді заробітної плати.

Здали добре екзамени, пройшли конкурс, за це отримуємо винагороду у вигляді вступу в навчальний заклад.

Ми вклали гроші в банк, при необхідності отримаємо їх назад.

Такі події є достовірними. Якщо ми виконали всі необхідні умови, то обов'язково отримаємо очікуваний результат.

Неможливі події

Зараз ми розглядаємо елементи теорії ймовірності. Пропонуємо перейти до пояснення такого виду події, а саме - неможливого. Для початку обговоримо найважливіше правило – ймовірність неможливого події дорівнює нулю. Від даної формулювання не можна відступати при вирішенні завдань. Для пояснення наведемо приклади таких подій:

Вода замерзла при температурі плюс десять (це неможливо).

Відсутність електроенергії ніяк не впливає на виробництво (так само неможливо, як і в попередньому прикладі).

Більше прикладів наводити не варто, так як описані вище дуже яскраво відображають суть даної категорії. Неможлива подія ніколи не станеться під час досвіду ні за яких обставин.

Випадкові події

Вивчаючи елементи теорії ймовірності, особливу увагу варто приділити саме цьому виду події. Саме їх і вивчає дана наука. В результаті досвіду може щось статися або ні. Крім цього, випробування може проводитися необмежену кількість разів. Яскравими прикладами можуть служити:

Кидок монети – це досвід, або випробування, випадання орла – це подія.

Витягання кульки з мішка наосліп – випробування, попався червоний куля – це подія і так далі.

Таких прикладів може бути необмежена кількість, але, загалом, суть повинна бути зрозуміла. Для узагальнення і систематизування отриманих знань про події наведена таблиця. Теорія ймовірностей вивчає тільки останній вид з усіх представлених.

назва



визначення



приклад



Достовірні



Події, що відбуваються зі стовідсотковою гарантією при дотриманні деяких умов.



Вступ до навчального закладу при гарній складання вступного іспиту.



Неможливі



Події, які ніколи не відбудуться ні при яких умовах.



Йде сніг при температурі повітря плюс тридцять градусів за Цельсієм.



Випадкові



Подія, яка може відбутися або ні в ході проведення досліду/випробування.



Влучання чи промаху при киданні баскетбольного м'яча в кільце.

Закони

Теорія ймовірності – це наука, що вивчає можливість випадання якого-небудь події. Як і інші, вона має деякі правила. Існують такі закони теорії ймовірностей:

Збіжність послідовностей випадкових величин.

Закон великих чисел.

При розрахунку можливості складного можна використовувати комплекс простих подій для досягнення результату більш легким і швидким шляхом. Зазначимо, що закони теорії ймовірностей легко доводяться за допомогою деяких теорем. Пропонуємо для початку познайомитися з першим законом.

Збіжність послідовностей випадкових величин

Зазначимо, що видів збіжності кілька:

Послідовність випадкових величин сходима по ймовірності.

Майже неможливе.

Середньоквадратична збіжність.

Збіжність за розподілом.

Так, з льоту, дуже важко вникнути в суть. Наведемо визначення, які допоможуть розібратися в даній темі. Для початку перший вид. Послідовність називають сходимой по ймовірності , якщо дотримано наступне умова: n прагне до нескінченності, число, до якого прагне послідовність, більше нуля і наближена до одиниці . Переходимо до наступного увазі, майже напевно . Кажуть, що послідовність сходиться майже напевно до випадковою величиною при n, що прагне до нескінченності, і Р, прагне до величини, близької до одиниці.
Наступний тип – це збіжність середньоквадратична . При використанні СК-збіжності вивчення векторних випадкових процесів зводиться до вивчення їх координатних випадкових процесів. Залишився останній тип, давайте розберемо коротко і його, щоб переходити безпосередньо до вирішення завдань. Збіжність за розподілом і має ще одну назву - «слабке», далі пояснимо, чому. Слабка збіжність — це збіжність функцій розподілу в усіх точках неперервності граничної функції розподілу. Обов'язково виконаємо обіцянку: слабка збіжність відрізняється від всіх перерахованих вище тим, що випадкова величина не визначена на імовірнісному просторі. Це можливо тому, що умова формується виключно з використанням функцій розподілу.

Закон великих чисел

Відмінними помічниками при доказі цього закону стануть теореми теорії ймовірності, такі як:

Нерівність Чебишева.

Теорема Чебишова.

Узагальнена теорема Чебишова.

Теорема Маркова.

Якщо будемо розглядати всі ці теореми, то це питання може затягнутися на кілька десятків листів. У нас основне завдання – це застосування теорії ймовірності на практиці. Пропонуємо вам прямо зараз цим і зайнятися. Але перед цим розглянемо аксіоми теорії ймовірностей, вони будуть основними помічниками при вирішенні завдань.

Аксіоми

З першої ми вже познайомилися, коли говорили про неможливе подію. Давайте згадувати: ймовірність неможливого події дорівнює нулю. Приклад ми наводили дуже яскравий і запам'ятовується: випав сніг при температурі повітря тридцять градусів за Цельсієм. Друга звучить наступним чином: достовірне подія відбувається з імовірністю, рівній одиниці. Тепер покажемо, як це записати за допомогою математичного мови: Р(В)=1. Третя: Випадкова подія може відбутися або ні, але можливість завжди варіюється в межах від нуля до одиниці. Чим ближче значення до одиниці, тим більше шансів; якщо значення наближається до нулю, ймовірність дуже мала. Запишемо це математичною мовою: 0 <Р(С)<1. Розглянемо останню, четверту аксіому, яка звучить так: імовірність суми двох подій дорівнює сумі їх імовірностей. Записуємо математичною мовою: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Аксіоми теорії ймовірностей – це прості правила, які не важко запам'ятати. Спробуємо вирішити деякі задачі, спираючись на вже отримані знання.

Лотерейний квиток

Для початку розглянемо найпростіший приклад - лотерея. Уявіть, що ви купили один лотерейний квиток на удачу. Яка ймовірність, що ви виграєте не менше двадцяти рублів? Всього в тиражі бере участь тисяча квитків, один з яких має приз у п'ятсот рублів, десять, сто рублів, п'ятдесят по двадцять карбованців, а сто - по п'ять. Задачі з теорії ймовірності ґрунтуються на те, щоб знайти можливість удачі. Зараз разом розберемо рішення вище представленого завдання. Якщо ми позначимо буквою А виграш у п'ятсот рублів, то ймовірність випадання А буде дорівнювати 0001. Як ми це отримали? Просто необхідно кількість "щасливих" квитків розділити на загальне їх число (в даному випадку: 1/1000). В – це виграш в сто рублів, ймовірність буде дорівнювати 001. Зараз ми діяли за тим же принципом, що і в минулому дії (10/1000) З – виграш дорівнює двадцяти гривень. Знаходимо ймовірність, вона дорівнює 005. Інші квитки нас не цікавлять, так як їх призовий фонд менше заданого в умові. Застосуємо четверту аксіому: Ймовірність виграти не менше двадцяти рублів становить Р(А)+Р(В)+Р(С). Позначається буквою Р вірогідність походження цієї події, ми в попередніх діях вже їх знайшли. Залишилося лише скласти необхідні дані, відповіді ми отримуємо 0061. Це число і буде відповіддю на питання завдання.

Карткова колода

Задачі з теорії ймовірності бувають і більш складними, для прикладу візьмемо наступне завдання. Перед вами колода з тридцяти шести карт. Ваше завдання - витягнути дві карти, не перемішуючи стопку, перша і друга карти повинні бути тузами, масть значення не має. Для початку знайдемо ймовірність того, що перша карта буде тузом, для цього ділимо на чотири тридцять шість. Відклали його в бік. Дістаємо другу карту, це буде туз з імовірністю три тридцять п'яте. Ймовірність другого події залежить від того, яку карту ми витягли першої, нам цікаво, чи був це туз чи ні. З цього випливає, що подія залежить від події А. Наступним дією знаходимо ймовірність одночасного здійснення, тобто перемножуємо А і В. Їх твір знаходиться наступним чином: ймовірність однієї події множимо на умовну ймовірність іншої, яку ми обчислюємо, припускаючи, що перша подія відбулася, то є першою картою ми витягли туз. Для того щоб стало все зрозуміло, дамо позначення такого елементу, як умовна ймовірність події. Обчислюється вона, припускаючи, що подія А відбулася. Розраховується наступним чином: Р(В/А). Продовжимо рішення нашої задачі: Р(А * В)=Р(А) * Р(В/А) або Р(А * В)=Р(В) * Р(А/В). Ймовірність дорівнює (4/36) * ((3/35)/(4/36). Обчислюємо, округляючи до сотих. Ми маємо: 011 * (009/011)=011 * 082=009. Ймовірність того, що ми витягнемо два туза поспіль, дорівнює дев'яти сотим. Значення дуже мало, з цього випливає, що і ймовірність походження події дуже мала.

Забутий номер

Пропонуємо розібрати ще кілька варіантів завдань, які вивчає теорія ймовірностей. Приклади вирішення деяких з них ви вже бачили в даній статті спробуємо вирішити наступну задачу: хлопчик забув останню цифру номера телефону свого друга, але так як дзвінок був дуже важливий, то почав набирати все по черзі. Нам необхідно обчислити ймовірність того, що він подзвонить не більше трьох разів. Рішення завдання найпростіше, якщо відомі правила, закони та аксіоми теорії ймовірностей. Перед тим як дивитися рішення, спробуйте вирішити самостійно. Нам відомо, що остання цифра може бути від нуля до дев'яти, тобто всього десять значень. Ймовірність набрати потрібну становить 1/10. Далі нам потрібно розглядати варіанти походження події, припустимо, що хлопчик вгадав і відразу набрав потрібну, ймовірність такої події дорівнює 1/10. Другий варіант: перший дзвінок промах, а другий в ціль. Розрахуємо ймовірність такої події: 9/10 множимо на 1/9 у результаті отримуємо також 1/10. Третій варіант: перший і другий дзвінок виявилися не за адресою, тільки з третього хлопчик потрапив туди, куди хотів. Обчислюємо ймовірність такої події: 9/10 множимо на 8/9 і на 1/8 отримуємо в підсумку 1/10. Інші варіанти за умовою завдання нас не цікавлять, тому нам залишилося скласти отримані результати, у підсумку ми маємо 3/10. Відповідь: ймовірність того, що хлопчик подзвонить не більше трьох разів, дорівнює 03.

Картки з числами

Перед вами дев'ять карток, на кожній з яких написано число від одного до дев'яти, цифри не повторюються. Їх поклали в коробку і ретельно перемішали. Вам необхідно розрахувати ймовірність того, що

випаде парне число;

двухзначное.

Перед тим як переходити до вирішення, обмовимо, що m – це кількість вдалих випадків, а n – загальна кількість варіантів. Знайдемо ймовірність того, що число буде парною. Не важко порахувати, що парних чисел чотири, це і буде наша m, все можливо дев'ять варіантів, тобто m=9. Тоді ймовірність дорівнює 044 або 4/9. Розглядаємо другий випадок: кількість варіантів дев'ять, а вдалих результатів бути взагалі не може, тобто m дорівнює нулю. Ймовірність того, що витягнута картка міститиме двухзначное число, так само дорівнює нулю.