У курсі шкільної математики, дитина вперше чує термін "рівняння". Що таке це, спробуємо розібратися разом. У цій статті розглянемо види та способи вирішення.

Математика. Рівняння

Для початку пропонуємо розібратися з самим поняттям, що це таке? Як свідчать багато підручники математики, рівняння - це деякі вирази, між якими варто обов'язково знак рівності. В цих виразах присутні літери, так звані змінні, значення яких необхідно знайти. Що таке змінна? Це атрибут системи, який змінює своє значення. Наочним прикладом змінних є:

температура повітря;

зріст дитини;

вага і так далі.

У математиці вони позначаються буквами, наприклад, х, а, b, с Зазвичай завдання з математики звучить наступним чином: знайдіть значення рівняння. Це означає, що необхідно знайти значення даних змінних.

Різновиди

Рівняння (що таке, ми розібрали в попередньому пункті) може бути наступного виду:

лінійні;

квадратні;

кубічні;

алгебраїчні;

трансцендентні.

Для більш докладного знайомства з усіма видами, розглянемо кожен окремо.

Лінійне рівняння

Це перший вид, з яким знайомляться школярі. Вони вирішуються досить-таки швидко і просто. Отже, лінійне рівняння, що таке? Це вираз виду: ах=с. Так не особливо зрозуміло, тому наведемо кілька прикладів: 2х=26; 5х=40; 12 х=6. Розберемо приклади рівнянь. Для цього нам необхідно всі відомі дані зібрати з одного боку, а невідомі в інший: х=26/2; х=40/5; х=6/12. Тут використовувалися елементарні правила математики: а*с=о, с=е/а; а=е/с. Для того щоб завершити рішення рівняння, виконаємо одну дію (у нашому випадку поділ) х=13; х=8; х=5. Це були приклади на множення, тепер подивимося на віднімання і додавання: х+3=9; 10х-5=15. Відомі дані переносимо в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Виконуємо остання дія: х=6; х=2.


Також можливі варіанти лінійних рівнянь, де використовується більше однієї змінної: 2х-2у=4. Для того щоб вирішити, необхідно до кожної частини додати 2у, у нас виходить 2х-2у+2у=4-2у, як ми помітили, по ліву частину знаку рівності -2у +2у скорочуються, при цьому у нас залишається: 2х=4-2у. Останнім кроком ділимо кожну частину на два, отримуємо відповідь: ікс дорівнює мінус два ігрек. Завдання з рівняннями зустрічаються навіть на папірусах Ахмеса. От одна із задач: число і четверта його частина дають в сумі 15. Для її вирішення ми записуємо наступне рівняння: ікс плюс одна четверта ікс дорівнює п'ятнадцяти. Ми бачимо ще один приклад лінійного рівняння, за підсумком рішення, отримуємо відповідь: х=12. Але цю задачу можна вирішити й іншим способом, а саме єгипетським або, як його називають по-іншому, способом припущення. У папірусі використовується наступне рішення: візьміть чотири і четверту її частина, тобто одиницю. В сумі вони дають п'ять, тепер п'ятнадцять необхідно розділити на суму, ми отримуємо три, останньою дією три множимо на чотири. Ми отримуємо відповідь: 12. Чому ми у вирішенні п'ятнадцять ділимо на п'ять? Так дізнаємось, у скільки разів п'ятнадцять, тобто результат, який нам необхідно отримати, менше п'яти. Таким способом вирішували завдання в середні століття, він став зватися методом хибного положення.

Квадратні рівняння

Крім розглянутих раніше прикладів, існують і інші. Які саме? Квадратне рівняння, що таке? Вони мають вигляд ax 2 +bx+c=0. Для їх вирішення необхідно ознайомитися з деякими поняттями і правилами. По-перше, потрібно знайти дискриминант за формулою: b 2 -4ac. Є три варіанти результату рішення:

дискриминант більше нуля;

менше нуля;

дорівнює нулю.

У першому варіанті ми можемо отримати відповідь з двох коренів, які знаходяться за формулою: b+-корінь з дискримінанта розділені на подвоєний перший коефіцієнт, тобто 2а. У другому випадку коренів у рівняння немає. У третьому випадку корінь знаходиться за формулою: -b/2а. Розглянемо приклад квадратного рівняння для більш докладного знайомства: три ікс в квадраті мінус чотирнадцять ікс мінус п'ять дорівнює нулю. Для початку, як і писалося раніше, шукаємо дискриминант, в нашому випадку він дорівнює 256. Зазначимо, що отримане число більше нуля, отже, ми повинні отримати відповідь складаються з двох коренів. Підставляємо отриманий дискриминант у формулу знаходження коренів. У результаті ми маємо: ікс дорівнює п'яти і мінус однієї третьої.

Особливі випадки у квадратних рівняннях

Це приклади, в яких деякі значення дорівнюють нулю (а, b або с), а можливо і декілька. Для прикладу візьмемо таке рівняння, яке є квадратним: два ікс в квадраті дорівнює нулю, тут ми бачимо, що b і с дорівнюють нулю. Спробуємо її вирішити, для цього обидві частини рівняння поділимо на два, ми маємо: х 2 =0. У підсумку отримуємо х=0. Інший випадок 16х 2 -9=0. Тут тільки b=0. Вирішимо рівняння, вільний коефіцієнт переносимо в праву частину: 16х 2 =9 тепер кожну частину ділимо на шістнадцять: х 2 = дев'ять шістнадцятих. Так як у нас х в квадраті, то корінь з 9/16 може бути як негативним, так і позитивним. Відповідь записуємо наступним чином: ікс дорівнює плюс/мінус три четвертих. Можливий і такий варіант відповіді, як у рівняння коренів зовсім немає. Подивимося на такий приклад: 5х 2 +80=0 тут b=0. Для вирішення вільний член перекидаєте в праву сторону, після цих дій отримуємо: 5х 2 =-80 тепер кожну частину ділимо на п'ять: х 2 = мінус шістнадцять. Якщо будь-яке число звести в квадрат, то від'ємне значення ми не отримаємо. З цього наша відповідь звучить так: у рівняння коренів немає.

Розкладання тричлена

Завдання з квадратним рівнянням може звучати й іншим чином: розкласти квадратний тричлен на множники. Це можливо здійснити, скориставшись наступною формулою: а(х-х 1 )(х-х 2 ). Для цього, як і в іншому варіанті завдання, необхідно знайти дискриминант. Розглянемо наступний приклад: 3х 2 -14х-5 розкладіть тричлен на множетели. Знаходимо дискриминант, користуючись вже відомою нам формулою, він виходить рівним 256. Відразу відзначаємо, що 256 більше нуля, отже, рівняння буде мати два кореня. Знаходимо їх, як у попередньому пункті, ми маємо: х= п'ять і мінус одна третя. Скористаємося формулою для розкладання тричлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). У другій дужці ми отримали знак одно, тому що в формулі стоїть знак мінус, а корінь теж негативний, користуючись елементарними знаннями математики, у сумі ми маємо знак плюса. Для спрощення, перемножимо перший і третій член рівняння, щоб позбутися від дробу: (х-5)(х+1).

Рівняння зводяться до квадратному

В даному пункті навчимося вирішувати більш складні рівняння. Почнемо відразу з прикладу: (x 2 – 2x) 2 – 2(x 2 – 2x) – 3 = 0. Можемо зауважити повторювані елементи: (x 2 – 2x), нам для вирішення зручно замінити його на іншу змінну, а далі вирішувати звичайне квадратне рівняння, відразу відзначаємо, що в такому завданні ми отримаємо чотири кореня, це не повинно вас лякати. Позначаємо повторення змінної а. Ми отримуємо: а 2 -2а-3=0. Наш наступний крок - це знаходження дискримінанта нового рівняння. Ми отримуємо 16 знаходимо два кореня: мінус один і три. Згадуємо, що ми робили заміну, підставляємо ці значення, в результаті ми маємо рівняння: x 2 – 2x=-1; x 2 – 2x=3. Вирішуємо їх у першому відповідь: х дорівнює одиниці, в другому: х дорівнює мінуса одному і трьом. Записуємо відповідь наступним чином: плюс/мінус один і три. Як правило, відповідь записують у порядку зростання.

Кубічні рівняння

Розглянемо ще один можливий варіант. Мова піде про кубічні рівняння. Вони мають вигляд: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Приклади рівнянь ми розглянемо далі, а для початку трохи теорії. Вони можуть мати три кореня, так само існує формула для знаходження дискримінанта для кубічного рівняння. Розглянемо приклад: 3х 3 +4х 2 +2х=0. Як його вирішити? Для цього ми просто виносимо х за дужки: х(3х 2 +4х+2)=0. Все що нам залишається зробити - це обчислити корені рівняння в дужках. Дискриминант квадратного рівняння в дужках менше нуля, виходячи з цього, вираз має корінь: х=0.

Алгебра. Рівняння

Переходимо до наступного вигляду. Зараз ми коротко розглянемо алгебраїчні рівняння. Одне із завдань звучить наступним чином: методом угруповання розкласти на множетели 3х 4 +2х 3 +8х 2 +2х+5. Самим зручним способом буде наступна угруповання: (3х 4 +3х 2 )+(2х 3 +2х)+(5х 2 +5). Зауважимо, що 8х 2 з першого вираз ми подали у вигляді суми 3х 2 і 5х 2 . Тепер виносимо з кожної дужки спільний множник 3х 2 (х2+1)+2(х 2 +1)+5(х 2 +1). Ми бачимо, що у нас є спільний множник: ікс в квадраті плюс один, виносимо його за дужки: (х 2 +1)(3х 2 +2х+5). Подальше розкладання неможливо, так як обидва рівняння мають негативний дискриминант.

Трансцендентні рівняння

Пропонуємо розібратися з наступним типом. Це рівняння, які містять трансцендентні функції, а саме логарифмічні, тригонометричні або показові. Приклади: 6sin 2 x+tgx-1=0 х+5lgx=3 і так далі. Як вони вирішуються ви дізнаєтеся з курсу тригонометрії.

Функція

Завершальним етапом розглянемо поняття рівняння функції. На відміну від попередніх варіантів, даний тип не вирішується, а по ньому будується графік. Для цього рівняння варто добре проаналізувати, знайти всі необхідні точки для побудови, обчислити точку мінімуму і максимуму.