Історія
На сьогоднішній день відомо, що мистецтво розв'язувати рівняння та їх системи зародилося ще в Стародавньому Вавилоні та Єгипті. Однак рівності в їх звичному для нас вигляді з'явилися після виникнення знака рівності "=", який був введений в 1556 році англійським математиком Рекордом. До речі, цей знак був обраний не просто так: він означає два паралельних рівних відрізка. І правда, кращого прикладу рівності не придумати.Основоположником сучасних буквених позначень невідомих і знаків ступенів є французький математик Франсуа Вієта Які Були Введені. Однак його позначення значно відрізнялися від сьогоднішніх. Наприклад, квадрат невідомого числа він позначав літерою Q (лат."quadratus"), а куб - літерою C (лат. "cubus"). Ці позначення зараз здаються незручними, але тоді це був найбільш зрозумілий спосіб записати системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однак недоліком в тодішніх методи рішення було те, що математики розглядали тільки позитивні коріння. Можливо, це пов'язано з тим, що негативні значення не мали ніякого практичного застосування. Так чи інакше, але першими вважати негативні коріння почали саме італійські математики Нікколо Тарталья, Джероламо Кардано і Рафаель Бомбелли в 16 столітті. А сучасний вигляд, основний метод рішення квадратних рівнянь (через дискриминант) був створений тільки в 17 столітті завдяки роботам Декарта та Ньютона.
В середині 18 століття швейцарський математик Габріель Крамер знайшов новий спосіб для того, щоб зробити рішення систем лінійних рівнянь простіше. Цей спосіб був згодом названий його ім'ям і по сей день ми користуємося ним. Але про метод Крамера поговоримо трохи пізніше, а поки обговоримо лінійні рівняння й методи їхнього рішення окремо від системи.
Лінійні рівняння
Лінійні рівняння - найпростіші рівності зі змінною (змінними). Їх відносять до алгебраїчних. Лінійні рівняння записують в загальному вигляді так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +а n *x n =b. Подання їх у цьому виді нам знадобиться при складанні систем і матриць далі.Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Визначення цього терміна таке: це сукупність рівнянь, які мають загальні невідомі величини і спільне рішення. Як правило, в школі все вирішували системи з двома або навіть трьома рівняннями. Але бувають системи з чотирма і більше складовими. Давайте розберемося спочатку, як слід їх записати так, щоб надалі було зручно вирішувати. По-перше, системи лінійних алгебраїчних рівнянь буде виглядати краще, якщо всі змінні будуть записані як x з відповідним індексом: 123 і так далі. По-друге, слід привести всі рівняння до канонічного виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +а n *x n =b. Після всіх цих дій ми можемо почати розповідати, як знаходити рішення систем лінійних рівнянь. Дуже сильно для цього нам знадобляться матриці.Матриці
Матриця - це таблиця, яка складається з рядків і стовпців, а на їх перетині знаходяться її елементи. Це можуть бути конкретні значення, або змінні. Найчастіше, щоб позначити елементи, під ними розставляють нижні індекси (наприклад, а 11 або а 23 ). Перший індекс означає номер рядка, а другий - стовпця. Над матрицями, як і над будь-яким іншим математичним елементом можна здійснювати різні операції. Таким чином, можна:1) Віднімати і складати однакові за розміром таблиці. 2) Помножити матрицю на яке-небудь число або вектор. 3) Транспонувати: перетворювати рядки матриці на стовпчики, а стовпчики - в рядки. 4) Множити матриці, якщо число рядків однієї з них дорівнює кількості стовпців іншої. Детальніше обговоримо всі ці прийоми, так як вони стануть нам у подальшому. Віднімання і додавання матриць відбувається дуже просто. Так як ми беремо матриці однакового розміру, то кожен елемент таблиці співвідноситься з кожним елементом іншого. Таким чином складаємо (віднімаємо) два елементи (важливо, щоб вони стояли на однакових місцях у своїх матрицях). При множенні матриці на число або вектор необхідно просто помножити кожен елемент матриці на це число (або вектор). Транспонування - дуже цікавий процес. Дуже цікаво іноді бачити його в реальному житті, наприклад, при зміні орієнтації планшета або телефону. Значки на робочому столі являють собою матрицю, а при зміні положення вона транспонируется і стає ширше, але зменшується у висоті. Розберемо ще такий процес, як множення матриць. Хоч він нам і не знадобиться, але знати його буде все одно корисно. Перемножити дві матриці можна тільки за умови, що кількість стовпців таблиці дорівнює числу рядків другого. Тепер візьмемо елементи рядки однієї матриці та елементи стовпця іншого. Перемножимо їх один на одного і потім складемо (тобто, наприклад, добуток елементів a 11 і а 12 на b 12 і b 22 буде дорівнює: а 11 *b 12 + а 12 *b 22 ). Таким чином, виходить один елемент таблиці, і аналогічним методом вона заповнюється далі.
Тепер можемо приступити до розгляду того, як розв'язується система лінійних рівнянь.
Метод Гаусса
Цю тему починають проходити ще в школі. Ми добре знаємо поняття "система двох лінійних рівнянь" і вміємо їх вирішувати. Але що робити, якщо число рівнянь більше двох? В цьому нам допоможе метод Гауса. Звичайно, цим методом зручно користуватися, якщо зробити з системи матрицю. Але можна і не перетворювати її і вирішувати в чистому вигляді. Отже, як вирішується цим методом система лінійних рівнянь Гауса? До речі, хоч цей спосіб і названий його ім'ям, але відкрили його ще в давнину. Гаусс пропонує таке: проводити операції з рівняннями, щоб зрештою призвести всю сукупність до ступінчастому увазі. Тобто, потрібно, щоб зверху вниз (якщо правильно розставити) від першого рівняння до останнього зменшувалося по одному невідомому. Іншими словами, потрібно зробити так, щоб у нас вийшло, скажімо, три рівняння: у першому - три невідомих, у другому - два, третьому - один. Тоді з останнього рівняння ми знаходимо перше невідоме, підставляємо його значення в друге або перше рівняння, і далі знаходимо інші дві змінні.
Метод Крамера
Для освоєння цього методу життєво необхідно володіти навичками додавання, віднімання матриць, а також потрібно вміти знаходити визначники. Тому, якщо ви погано все це робите або зовсім не вмієте, доведеться повчитися і потренуватися. У чому суть цього методу, і як зробити так, щоб вийшла система лінійних рівнянь Крамера? Все дуже просто. Ми повинні побудувати матрицю з чисельних (практично завжди) коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Для цього просто беремо числа перед невідомими і розставляємо в таблицю в тому порядку, як вони записані в системі. Якщо перед числом стоїть знак "-", то записуємо негативний коефіцієнт. Отже, ми склали першу матрицю з коефіцієнтів при невідомих, не включаючи числа після знаків рівності (природно, що рівняння повинно бути приведене до канонічного виду, коли справа знаходиться тільки кількість, а зліва - всі невідомі з коефіцієнтами). Потім потрібно скласти ще кілька матриць - по одній для кожної змінної. Для цього замінюємо в першій матриці по черзі кожен стовпець з коефіцієнтами стовпець чисел після знака рівності. Таким чином отримуємо кілька матриць і далі знаходимо їх визначники. Після того як ми знайшли визначники, справа за малим. У нас є початкова матриця, і є кілька отриманих матриць, які відповідають різним змінним. Щоб отримати рішення системи, ми ділимо визначник отриманої таблиці на визначник початкової таблиці. Отримане число і є значення однієї з змінних. Аналогічно знаходимо всі невідомі.
Інші методи
Існує ще кілька методів для того, щоб отримати рішення систем лінійних рівнянь. Наприклад, так званий метод Гаусса-Жордана, який застосовується для знаходження розв'язків системи квадратних рівнянь і теж пов'язаний із застосуванням матриць. Існує також метод Якобі для рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Він легше всіх адаптується для комп'ютера і застосовується в обчислювальній техніці.
Складні випадки
Складність зазвичай виникає, коли число рівнянь менше числа змінних. Тоді можна напевно сказати, що, або система несовместна (тобто не має коренів), або кількість її рішень прагне до нескінченності. Якщо у нас другий випадок - то потрібно записати загальний розв'язок системи лінійних рівнянь. Воно буде містити як мінімум одну змінну.