Системи рівнянь отримали широке застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, при вирішенні завдань управління і планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортна задача) або розміщення устаткування. Системи рівняння використовуються не тільки в області математики, а й фізики, хімії і біології, при вирішенні задач по знаходженню чисельності популяції. Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з декількома змінними, для яких необхідно знайти спільне рішення. Таку послідовність чисел, при яких всі рівняння стануть вірними рівностями або довести, що послідовність не існує.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y - це невідомі, значення яких треба знайти, b, a - коефіцієнти при змінних, c - вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудова її графіка буде мати вигляд прямої, всі точки якої є рішенням многочлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь з двома змінними X і Y. F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0 де F12 - функції, а (x, y) - змінні функцій. Вирішити систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), при яких система перетворюється у вірне рівність або встановити, що відповідних значень x і y не існує. Пара значень (x, y), записана у вигляді координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь. Якщо системи мають одне загальне рішення або рішення не існує їх називають рівносильними. Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака "рівність" частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна. Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь з трьома змінними або більше. Стикаючись з системами школярі припускають, що кількість рівнянь не обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь в системі не залежить від змінних, їх може бути як завгодно багато.

Прості і складні методи рішення систем рівнянь

Не існує загального аналітичного способу рішення подібних систем, всі методи засновані на численних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, алгебраїчне додавання, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гаусса. Основне завдання при навчанні способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему і знаходити оптимальний алгоритм рішення для кожного прикладу. Головне не визубрити систему правил і дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу Рішення прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школи досить просте і пояснено дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цього розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса та Крамера більш докладно вивчають на перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані на вираження значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється залишився рівняння, потім його приводять до вигляду з одного змінної. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки: Як видно з прикладу, x-змінна була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлене у 2-е рівняння системи на місце X, допомогло отримати одну змінну Y 2-е рівняння. Рішення даного прикладу не викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крок це перевірка отриманих значень. Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться занадто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше 3-х рішення підстановкою також недоцільно. Рішення прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення з допомогою алгебраїчного додавання

При пошуку рішення систем методом складання виробляють почленное додавання і множення рівняння на різні числа. Кінцевою метою математичних дій є рівняння з однією змінною. Для застосування даного методу необхідна практика і спостережливість. Розв'язати систему лінійних рівнянь методом складання при кількості змінних 3 і більше непросто. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дробу і десяткові числа. Алгоритм дій рішення:

Помножити обидві частини рівняння на деяке число. В результаті арифметичного дії один з коефіцієнтів при змінної повинен стати рівним 1.

Почленно скласти отриманий вираз і знайти одне з невідомих.

Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку залишилася змінної.

Спосіб вирішення введенням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж повинно бути не більше двох.
Спосіб використовується, щоб спростити одне з рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння розв'язується відносно введеної невідомою, а одержане значення використовується для визначення початкової змінної. З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1-е рівняння системи до стандартного квадратному трехчлену. Вирішити многочлен можна відшукавши дискриминант. Необхідно знайти значення дискримінанта за відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - шуканий дискриминант, b, a, c - множники многочлена. В заданому прикладі a=1 b=16 c=39 отже, D=100. Якщо дискриминант більше нуля, то два рішень: t = -b±?D /2*a, якщо дискриминант менше нуля, то рішення одне: x= -b /2*a. Рішення для отриманих в результаті системи знаходять методом складання.

Наочний метод розв'язання систем

Підходить для систем з 3-ма рівняннями. Метод полягає у побудові на координатної осі графіків кожного рівняння, що входить у систему. Координати точок перетину кривих і будуть спільним рішенням системи. Графічний спосіб має ряд нюансів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом. Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були вибрані довільно: 0 і 3. Виходячи з значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0 3) і (3 0) були відзначені на графіку і з'єднані лінією. Дії слід повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи. У наступному прикладі потрібно знайти графічне вирішення системи лінійних рівнянь: 05 x-y+2=0 і 05 x-y-1=0. Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються на всьому своєму протязі. Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидно, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовуються для короткої запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. Матриця виду n*m має n рядків і m стовпців. Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній з діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною. Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється в одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь в матрицю

Стосовно до систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці. Рядок матриці називається ненульовий, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якому-небудь з рівнянь кількість змінних різниться, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль. Стовпці матриці повинні строго відповідати змінним. Це означає що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад, перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий. При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться на число.

Варіанти знаходження оберненої матриці

Формула знаходження оберненої матриці досить проста: K -1 = 1 /|K|, де K -1 - зворотна матриця, а |K| - визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення. Визначник легко обчислюється для матриці "два на два", необхідно лише помножити одне на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця так, щоб в творі не повторювалися номери стовпців і рядків елементів.

Рішення прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі запису при вирішенні систем з великою кількістю змінних і рівнянь. У прикладі a nm - коефіцієнти рівнянь, матриця - вектор x n - змінні, а b n - вільні члени. Далі необхідно знайти обернену матрицю і помножити на неї вихідну. Знайти значення змінних в отриманій одиничної матриці легко здійсненне завдання.

Рішення систем методом Гаусса

У вищій математиці спосіб Гаусса вивчають спільно з методом Крамера, а процес пошуку рішення систем так і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Ці способи використовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь. Метод Гаусса дуже схожий на рішення з допомогою підстановки і алгебраїчного додавання, але більш систематичен. У шкільному курсі рішення способом Гауса застосовується для систем з 3 і 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведення системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом алгебраїчних перетворень і підстановки знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння являє собою вираз з 2-ма невідомими, ну а 3 і 4 - відповідно з 3-ма і 4-ма змінними. Після приведення системи до описаного увазі, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних у рівняння системи. У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гаусса описаний наступним чином: Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x 3 -2x 4 =11 і 3x 3 +2x 4 =7. Рішення будь-якого з рівнянь дозволить дізнатися одну із змінних x n . Теорема 5 про яку згадується в тексті, говорить що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильною, то отримана система буде також рівносильна початковій. Метод Гаусса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним з найбільш цікавих способів для розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення математичних класах. Для простоти запису обчислень прийнято робити наступним чином: Коефіцієнти рівнянь і вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним з рівнянь системи. Вертикальна риска відділяє ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі. Спочатку записують матрицю, з якою доведеться працювати, потім всі дії проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні алгебраїчні дії до досягнення результату. У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей коштують 1 а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до окремого виду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння. Даний спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перерахування численних невідомих. Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності і певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш кращі в тій іншій галузі діяльності людей, а інші існують в цілях навчання.