Нерівності і системи нерівностей - це одна з тем, яка проходиться в середній школі з алгебри. За рівнем складності вона є не самою важкою, т. к. має нехитрі правила (про них трохи пізніше). Як правило, рішення систем нерівностей школярі засвоюють досить легко. Це пов'язано ще і з тим, що вчителі просто "натаскують" своїх учнів по даній темі. І вони не можуть цього не робити, адже вона вивчається і в подальшому із застосуванням інших математичних величин, а також перевіряється на ОГЕ і ЄДІ. У шкільних підручниках тема, присвячена нерівностям і систем нерівностей, розкрита дуже докладно, тому якщо ви збираєтеся її вивчити, то краще за все звернутися саме до них. Дана стаття лише переказує великі матеріали, і в ній можуть бути деякі опущення.

Поняття системи нерівностей

Якщо звернутися до наукової мови, то можна дати визначення поняттю "система нерівностей". Це така математична модель, яка являє собою кілька нерівностей. Від цієї моделі, звичайно ж, потрібно рішення, і в його ролі буде виступати загальний відповідь для всіх нерівностей системи, запропонованої в завданні (зазвичай у ньому так і пишуть, наприклад: "Вирішіть систему нерівностей 4 x + 1 > 2 і 30 - x > 6 "). Однак перед тим як перейти до видів і методів рішень, потрібно ще де в чому розібратися.

Системи нерівностей і системи рівнянь

У процесі вивчення нової теми дуже часто виникають непорозуміння. З одного боку, все ясно і скоріше хочеться приступити до вирішення завдань, а з іншого - якісь моменти залишаються в "тіні", не зовсім добре осмислюються. Також деякі елементи вже отриманих знань можуть переплітатися з новими. В результаті такого "накладання" найчастіше трапляються помилки.


Тому перед тим як приступити до розбору нашої теми, варто згадати про відмінності рівнянь і нерівностей, їх систем. Для цього потрібно ще раз пояснити, що представляють собою дані математичні поняття. Рівняння - це завжди рівність, і воно завжди чого-небудь одно (в математиці це слово позначається знаком "="). Нерівність же являє собою таку модель, в якій одна величина або більше, або менше іншого, або містить у собі твердження, що вони неоднакові. Таким чином, у першому випадку доречно говорити про рівність, а в другому, як би це очевидно не звучало з самого назви, про нерівність вихідних даних. Системи рівнянь і нерівностей один від одного практично не відрізняються і методи їх вирішення однакові. Єдина відмінність полягає в тому, що в першому випадку використовуються рівності, а в другому застосовуються нерівності.

Види нерівностей

Виділяють два види нерівностей: числові і з невідомою змінною. Перший тип являє собою надані величини (цифри), нерівні один одному, наприклад, 8 > 10. Другий - це нерівності, які містять у собі невідому змінну (позначається якою-небудь буквою латинського алфавіту, найчастіше X). Дана змінна вимагає свого знаходження. В залежності від того, скільки їх, математичної моделі розрізняють нерівності з однією (складають систему нерівностей з однією змінною) або декількома змінними (складають систему нерівностей з кількома змінними).
Два останніх види за ступенем своєї побудови і рівнем складності рішення поділяються на прості і складні. Прості ще називають лінійними нерівностей. Вони, в свою чергу, поділяються на суворі і несуворі. Суворі конкретно "говорять", що одна величина обов'язково повинна бути або менше, або більше, тому це в чистому вигляді нерівність. Можна привести кілька прикладів: 8 x + 9 > 2100 - 3 x > 5 і т. д. Несуворі включають в себе ще й рівність. Тобто одна величина може бути більше або інший дорівнює величині (знак "більше") або менше або дорівнює іншої величини (знак "<="). Ще в лінійних нерівностях змінна не варто докорінно, квадраті, не ділиться на що-небудь, з-за чого вони називаються "простими". Складні включають в себе невідомі змінні, знаходження яких вимагає виконання більшої кількості математичних операцій. Вони часто знаходяться в квадраті, кубі або під коренем, можуть бути модульними, логарифмічними, дробовими тощо, Але оскільки нашим завданням стає необхідність розібратися в рішенні систем нерівностей, то ми поговоримо про системи лінійних нерівностей. Однак перед цим слід сказати декілька слів про їх властивості.

Властивості нерівностей

До властивостей нерівностей відносяться наступні положення:

Знак нерівності змінюється на протилежний, якщо застосовується операція по зміні проходження сторін (наприклад, якщо t 1 = t 1 ).

Обидві частини нерівності дозволяють додати до собі одне і те ж число (наприклад, якщо t 1 <= t 2 , то t 1 + число <= t 2 + число).

Два і більше нерівностей мають знак одного напрями, що дозволяють складати їх ліві і праві частини (наприклад, якщо t 1 >= t 2 , t 3 >= t 4 , то t 1 + t 3 >= t 2 + t 4 ).

Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на одне й те саме додатне число (наприклад, якщо t 1 <= t 2 і число = число · t 2 ).

Два і більше нерівностей, які мають позитивні члени і знак одного напрямку, дозволяють множити себе один на одного (наприклад, якщо t 1 <= t 2 , t 3 = 0 то t 1 · t 3 <= t 2 · t 4 ).

Обидві частини нерівності дозволяють себе множити або ділити на одне і те саме від'ємне число, але при цьому знак нерівності змінюється (наприклад, якщо t 1 <= t 2 і число = число · t 2 ).

Всі нерівності мають властивість транзитивности (наприклад, якщо t 1 <= t 2 і t 2 <= t 3 , то t 1 <= t 3 ).

Тепер після вивчення основних положень теорії, що відноситься до нерівностям, можна приступити безпосередньо до розгляду правил вирішення їх систем.

Рішення систем нерівностей. Загальні відомості. Способи вирішення

Як вже говорилося вище, рішенням виступають значення змінної, відповідні до всім нерівностям даної системи. Рішення систем нерівностей - це здійснення математичних дій, які в підсумку призводять до рішенню всієї системи або доводять, що у неї рішень не є. В такому випадку кажуть, що змінна відноситься до порожнього числового безлічі (записується так: буква, що позначає змінну ? (знак "належить") ? (знак "порожня множина"), наприклад, x ? ? (читається так: "Мінлива "ікс" належить порожнього безлічі"). Виділяють кілька способів розв'язування систем нерівностей: графічний, алгебраїчний, спосіб підстановки. Варто зауважити, що вони відносяться до тих математичним моделям, які мають кілька невідомих змінних. У разі, коли є тільки одна, підійде спосіб інтервалів.

Графічний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей з кількома невідомими величинами (від двох і вище). Завдяки даному методу система лінійних нерівностей вирішується досить легко і швидко, тому він є найпоширенішим способом. Це пояснюється тим, що побудова графіка скорочує обсяг написання математичних операцій. Особливо стає приємним трохи відволіктися від ручки, взяти в руки олівець з лінійкою і приступити до подальших дій з їх допомогою, коли виконано багато роботи і хочеться невеликої різноманітності. Однак даний метод деякі недолюблюють з-за того, що доводиться відриватися від завдання і перемикати свою розумову діяльність на малювання. Тим не менш, це дуже дієвий спосіб. Щоб виконати рішення системи нерівностей з допомогою графічного способу, необхідно все члени кожної нерівності перенести в їх ліву частину. Знаки зміняться на протилежні, праворуч слід записати нуль, потім потрібно записати кожне нерівність окремо. У підсумку з нерівностей вийдуть функції. Після цього можна діставати олівець і лінійку: тепер потрібно намалювати графік кожної отриманої функції. Всі безліч чисел, яке виявиться в інтервалі їх перетину, буде рішенням системи нерівностей.

Алгебраїчний спосіб

Дозволяє вирішити систему нерівностей з двома невідомими змінними. Також нерівності повинні володіти однаковим знаком нерівності (тобто зобов'язані містити тільки знак "більше" або тільки знак "менше" та ін) Незважаючи на свою обмеженість, цей спосіб до того ж і більш складний. Він застосовується у двох етапах. Перший включає в себе дії по позбавленню від однієї з невідомих змінних. Спочатку треба її вибрати, потім перевірити на наявність чисел перед цією змінною. Якщо їх немає (тоді змінна буде виглядати, як одиночна буква), то нічого не змінюємо, якщо є (вид змінної буде, наприклад, таким - 5y або 12y), то тоді необхідно зробити так, щоб у кожному нерівність число перед обраної змінної було однаковим. Для цього потрібно помножити кожен член нерівностей на загальний множник, наприклад, якщо в першому нерівність записано 3y, а в другому 5y, то необхідно всі члени першого нерівності помножити на 5 а другого - на 3. Вийде 15y і 15y відповідно. Другий етап рішення. Потрібно ліву частину кожної нерівності перенести в їх праві частини зі зміною знака кожного члена на протилежний, праворуч записати нуль. Потім настає найцікавіше: позбавлення від обраної змінної (по-іншому це називається "скорочення") під час складання нерівностей. Вийде нерівність з однією змінною, яке необхідно вирішити. Після цього слід виконати те ж саме, тільки з іншого невідомою змінною. Отримані результати і буде рішенням системи.

Спосіб підстановки

Дозволяє вирішити систему нерівностей при наявності можливості ввести нову змінну. Зазвичай цей спосіб застосовується, коли невідома змінна в одному члені нерівності зведена в четверту ступінь, а в іншому члені має квадрат. Таким чином, даний метод спрямований на зниження ступеня нерівностей в системі. Нерівність зразка х 4 - х 2 - 1 <= 0 даними способом вирішується так. Вводиться нова змінна, наприклад, t. Пишуть: "Нехай t = х 2 ", далі модель переписують в новому вигляді. У нашому випадку вийде t 2 - t - 1 <=0. Це нерівність потрібно розв'язати методом інтервалів (про нього трохи пізніше), потім назад повернутися до змінної X, а потім зробити те ж саме з іншою нерівністю. Отримані відповіді буде рішенням системи.

Метод інтервалів

Це найпростіший спосіб розв'язування систем нерівностей, і в той же час він є універсальним і поширеним. Він використовується і в середній школі, і навіть у вищій. Його суть полягає в тому, що учень шукає проміжки нерівності на числової прямої, яка малюється в зошиті (це не графік, а просто звичайна пряма з числами). Там, де проміжки нерівностей перетинаються, знаходиться рішення системи. Щоб використовувати метод інтервалів, необхідно виконати наступні кроки:

Всі члени кожного нерівності переносяться в ліву частину зі зміною знака на протилежний (праворуч пишеться нуль).

Нерівності виписуються окремо, визначається рішення кожного з них.

Знаходяться перетину нерівностей на числовій прямій. Всі числа, що знаходяться на цих перетинах, будуть рішенням.

Який спосіб використовувати?

Очевидно той, що здається найбільш легким і зручним, але бувають такі випадки, коли завдання вимагають певного методу. Найчастіше в них написано, що потрібно вирішувати за допомогою графіка, або методом інтервалів. Алгебраїчний спосіб і підстановка використовуються вкрай рідко або не використовуються взагалі, оскільки вони досить складні і заплутані, та й до того ж більше застосовувана для рішення систем рівнянь, а не нерівностей, тому слід вдаватися до малювання графіків та інтервалів. Вони привносять наочність, яка не може не сприяти ефективному і швидкому проведення математичних операцій.

Якщо щось не виходить

Під час вивчення тієї чи іншої теми з алгебри, природно, можуть виникнути проблеми з її розумінням. І це нормально, адже наш мозок влаштований так, що він не здатний усвідомити складний матеріал за один раз. Часто потрібно перечитати параграф, скористатися допомогою вчителя або зайнятися практикою за рішенням типових завдань. В нашому випадку вони виглядають, наприклад, так: "Розв'яжіть систему нерівностей 3 x + 1 >= 0 і 2 x - 1 > 3". Таким чином, особисте прагнення, допомога сторонніх людей і практика допомагають у розумінні будь-якої складної теми.

Розв'язник?

А ще дуже добре підійде розв'язник, тільки не для списування домашніх завдань, а для самодопомоги. У них можна знайти системи нерівностей з рішенням, подивитися на них (як на шаблони), спробувати зрозуміти, як саме автор рішення впорався з поставленим завданням, а потім спробувати виконати подібне в самостійному порядку.

Висновки

Алгебра - це один з найскладніших предметів у школі. Ну що ж тут поробиш? Математика завжди була такою: комусь вона дається легко, а комусь з утрудненням. Але в будь-якому випадку слід пам'ятати, що загальноосвітня програма побудована так, що з нею може впоратися будь-який учень. До того ж, треба мати на увазі величезну кількість помічників. Деякі з них було згадано вище.