Поняття математичного нерівності виникло в глибокій старовині. Це сталося тоді, коли у первісної людини з'явилася потреба при рахунку та дії з різними предметами порівнювати їх кількість і величину. Починаючи з античних часів нерівностей користувалися в своїх міркуваннях Архімед, Евклід та інші прославлені діячі науки: математики, астрономи, конструктори і філософи. Але вони, як правило, застосовували у своїх роботах словесну термінологію. Вперше сучасні знаки для позначення понять «більше» і «менше» в тому вигляді, в якому їх сьогодні знає кожен школяр, придумали і застосували на практиці в Англії. Надав таку послугу нащадкам математик Томас Гарріот. А сталося це близько чотирьох століть тому.


Відомо безліч видів нерівностей. Серед них прості, містять одну, дві і більше змінних, квадратні, дробові, складні співвідношення і навіть представлені системою виразів. А зрозуміти, як вирішувати нерівності, краще за все на різних прикладах.

Не спізнитися на поїзд

Для початку уявімо собі, що мешканець сільської місцевості поспішає на залізничну станцію, яка знаходиться на відстані 20 км від його села. Щоб не спізнитися на поїзд, який відходить в 11 годин, він повинен вчасно вийти з дому. В котрій годині це необхідно зробити, якщо швидкість його руху становить 5 км/год? Вирішення цієї практичної задачі зводиться до виконання умов виразу: 5 (11 – Х) >= 20 де Х – час відправлення. Це зрозуміло, адже відстань, яку необхідно подолати селянина до станції одно швидкості руху, помноженої на кількість годин в дорозі. Прийти раніше людина може, але ось запізнитися йому ніяк не можна. Знаючи, як вирішувати нерівності, і застосувавши свої вміння на практиці, в результаті отримаємо Х <= 7 що і є відповіддю. Це означає, що селянину потрібно відправитися на залізничну станцію в сім ранку або дещо раніше.

Числові проміжки на координатній прямій

Тепер з'ясуємо, як відобразити описувані співвідношення на координатній прямій. Отримане вище нерівність не є строгим. Воно означає, що змінна може приймати значення менше 7 а може бути рівним цього числа. Наведемо інші приклади. Для цього уважно розглянемо чотири малюнка, представлених нижче. На першому з них можна побачити графічне зображення проміжку[-7; 7]. Він складається з безлічі чисел, розміщених на координатної прямий і знаходяться між -7 і 7 включаючи кордону. При цьому точки на графіку зображуються у вигляді зафарбованих кіл, а запис проміжку проводиться з використанням квадратних дужок. Другий малюнок є графічним поданням суворого нерівності. В даному випадку прикордонні числа -7 і 7 показані виколотими (не зафарбованими) точками, що не включаються в зазначене безліч. А запис самого проміжку проводиться в круглих дужках наступним чином: (-7; 7). Тобто, з'ясувавши, як вирішувати нерівності такого типу, і отримавши таку відповідь, можна зробити висновок, що він складається з чисел, що знаходяться між цими кордонами, крім -7 і 7. Наступні два випадку необхідно оцінювати аналогічним чином. На третьому малюнку подано зображення проміжків (-?; -7]U[7; +в€ћ), а на четвёртом - (-в€ћ; -7) U (7; +в€ћ).

Два вирази в одному

Часто можна зустріти наступний запис: 7 < 2Х – 3 7 і 2Х – 3 < 11 следующее: 5 < Х < 7. Окончательний ответ записивается таким образом: (5; 7). Это значит, что переменная принимает множество значений, заключённих в промежутке между числами 5 и 7, исключая граници.

Схожі властивості з рівнянням

Рівняння являє собою вираз, об'єднуване знаком = , який означає, що обидві його частини (ліва і права) тотожні за величиною. Тому часто подібні співвідношення пов'язують з образом старовинних ваг, що мають чаші, встановлені і скріплюються за допомогою важеля. Цей пристрій завжди перебуває в рівновазі, якщо обидві сторони наділені однаковою вагою. При цьому положення не змінюється, якщо ліва і права частини доповнюються або втрачають вантажі однакової маси. У математичному рівнянні до обох частин рівності, щоб воно не переривалось, теж можна додавати одне і те ж число. При цьому воно може бути позитивним або негативним. Як вирішувати нерівності в даному випадку, і можна зробити з ними те ж саме? Попередні приклади показали, що так.

Відміну від рівняння

Обидві частини виразу, сполучені знаками можна множити і ділити на будь-яке додатне число. При цьому істинність співвідношення не порушується. Але як розв'язати нерівність з дробами негативними і цілими множниками, перед якими стоїть знак мінус? Тут справа йде зовсім інакше. Розберемо це на прикладі: -3Х -4 що і є відповіддю поставленої задачі.

Метод інтервалів

Нерівність називається квадратним у разі, якщо містить змінну, зведену в другу ступінь. Прикладом такого співвідношення може служити наступне вираз: Х 2 – 2Х + 3 > 0. Як розв'язувати квадратні нерівності? Найзручнішим способом є метод інтервалів. Для здійснення задуманого, слід розкласти на множники ліву частину співвідношення. Виходить: (Х – 3)(Х + 1). Потім рекомендується знайти нулі функції і розташувати отримані точки в правильному порядку на координатній прямій. Далі потрібно розподілити знаки отриманих інтервалів, підставивши у вираз будь-яке з чисел, що належать цій проміжку. При цьому в простих випадках зазвичай достатньо розібратися хоча б з одним з них, а решта - розставити за правилом чергування. У висновку залишається тільки відібрати відповідні інтервали, щоб отримати остаточне рішення. Квадратні нерівності тут підкоряються закону відповідності негативних областей мінусів, а позитивних - плюсів. Тобто, якщо вираз більше нуля, то слід брати числові проміжки, позначені знаком + . А в зворотному випадку рішенням будуть ділянки, відмічені знаком - . Таким чином, рішення нашого нерівності запишеться так: (-?; -1) U (3; +?).

Інші приклади застосування методу інтервалів

Описаний спосіб дає відповідь і на інше важливе питання: як вирішувати дробові нерівності, якщо в даному випадку цілком можна застосувати той же метод інтервалів? Розглянемо докладніше, як це можна зробити на прикладі співвідношення, представленого нижче. Тут нулями функції є точки -9 і 4. Для знаходження рішення слід нанести їх на координатну пряму і визначити знаки проміжків, відібравши ті з них, які виявляться позначеними знаком плюс. При цьому слід звернути увагу, що зафарбованої буде тільки цифра 4. Інша точка буде виколотой, так як -9 не входить в область значень, які допустимі. Адже при цьому в знаменнику виходить нуль, що в математиці неможливо. Як вирішувати дробові нерівності? В даному випадку остаточною відповіддю стане об'єднання проміжків: (-?; -9) U[4; +?).

Параболи на графіку

З'ясувати все про нерівностях часто допомагають не тільки малюнки на координатній прямій, але і зображення в декартовій площині. Графіком квадратичної залежності, як відомо, є парабола. Навіть схематичний малюнок такого типу здатний практично повністю дати відповіді на поставлені запитання. Розглянемо деякі з типів парабол, що дають подання про рішення квадратних нерівностей. Тут насамперед з'ясуємо для себе деякі істини. Будь-який вираз такого типу приводиться до вигляду: ах 2 + вх + с = 0. При цьому, якщо коефіцієнт а виявляється позитивним, то параболу слід малювати гілками верх, в протилежному випадку – вниз. А корені рівняння є точками, де відбувається перетин графіка функції з віссю ОХ.

Тлумачення

Знати зазначені вище твердження дуже важливі для розуміння квадратних нерівностей і відповідей на питання, пов'язані з ними. Накресливши схему параболи на декартовій площині, для рішення необхідно з'ясувати, в який момент функція (тобто значення координат точок по осі ОУ) приймає показники + і -. При цьому, якщо в нерівності стоїть знак >, то рішенням його буде безліч значень, прийнятих змінної Х при позитивному У. У разі знаку < в ответе указиваются показатели для Х при отрицательном У. Бивает так, что парабола и вовсе не пересекается с осью ОХ. Это происходит в случаях, когда Д виявиться проміжок (-?; +?). А для < решением будет пустое множество. С нижней полуплоскостью дело обстоит с точностью да наоборот.

Про користь графічних зображень

Зображення на декартовій площині істотно полегшують задачу для систем рівнянь. Малюнки наочно показують рішення, які є точками перетину нанесених ліній. Залишається тільки обчислити їх координати і записати відповідь. Те ж стосується і нерівностей. Приміром, рішенням співвідношення у <= 6 – х (як зрозуміло з малюнку) є сама пряма у = 6 - х, а також полуплоскость, розміщена нижче цієї межі. Для точної відповіді можна взяти будь-яку точку на графіку (наприклад (1; 3) і підставити її координати в нерівність. Отримуємо: 3 = х 2 описується областю на декартовій площині, розташованої в чаші параболи, включаючи межі її самої. А на перетині зазначених секторів можна знайти рішення співвідношення, записаного у вигляді: х 2 <= у <= 6 – х. Воно буде обмежуватися знизу лінією параболи і отсекаться зверху прямою. Для впевненості знову зробимо перевірку, підставивши значення координат будь-якої точки, пренадлежащей до цієї області. Візьмемо (1; 4). Отримуємо: 1 <= 4 <= 6 - 1 тобто знову вірне співвідношення. Тут знову є сенс зауважити, що нерівності володіють багатьма подібними рисами з рівняннями, хоча й наділені істотними відмінностями.