Як відомо, при перемножении виразів із степенями їх показники завжди складаються (a b *a c = a b+c ). Цей математичний закон був виведений Архімедом, а пізніше, у VIII столітті, математик Вирасен створив таблицю цілих показників. Саме вони послужили для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти практично скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите 10 хвилин на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простою і доступною мовою.

Визначення в математиці

Логарифмом називається вираз виду: log a b=c, то є логарифмом будь-якого ненегативного числа (тобто будь-якого позитивного) "b" за його основи "a" вважається ступінь "c", у яку треба звести підстава "a", щоб у підсумку отримати значення "b". Розберемо логарифм на прикладах, припустимо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? Дуже просто, потрібно знайти таку міру, щоб з 2 до бажаного ступеня отримати 8. Проробивши в розумі деякі розрахунки, отримуємо число 3! І вірно, адже 2 в ступені 3 дає відповіді число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема здається складною та незрозумілою, однак на насправді логарифми не так страшні, головне - зрозуміти загальний їх зміст і запам'ятати їх свойст і деякі правила. Існує три окремих види логарифмічних виразів:

Натуральний логарифм ln a, де основою є число Ейлера (e = 27).

Десятковий логарифм lg a, де основою служить число 10.

Логарифм будь-якого числа b по підставі a>1.

Кожен з них розв'язується стандартним способом, включає в себе спрощення, скорочення та подальше приведення до одного логарифму з допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам'ятати їх властивості і черговість дій при їх рішеннях.

Правила і деякі обмеження

У математиці існує кілька правил, обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню і є істиною. Наприклад, не можна ділити числа на нуль, а ще неможливо витягти корінь парному ступеня з від'ємних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна з легкістю навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

підстава "a" завжди повинно бути більше нуля, і при цьому не бути рівним 1 інакше вираз втратить свій сенс, адже "1" і "0" у будь-якій мірі завжди дорівнюють своїм значенням;

якщо а > 0 то і а b >0 виходить, що і "с" має бути більше нуля.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дуже легко, потрібно підібрати таку ступінь, звівши в яку число десять, ми отримаємо 100. Це, звичайно ж, квадратична ступінь! 10 2 =100. А тепер давайте уявимо даний вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти ту ступінь, в яку необхідно ввести підстава логарифма, щоб отримати задане число. Для безпомилкового визначення значенияя невідомою мірою необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона наступним чином: Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму і знання таблиці множення. Однак для великих значень потрібно таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не розуміє в складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (підстава a), верхній ряд чисел - це значення ступеня c, до якої зводиться число a. На перетині в комірках визначено значення чисел, які є відповіддю (a c =b). Візьмемо, приміром, саму першу комірку з числом 10 і зведемо її в квадрат, одержимо значення 100 яке зазначено на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть самий справжній гуманітарій!

Рівняння і нерівності

Виходить, що при певних умовах показник ступеня - це і є логарифм. Отже, будь-які чисельні математичні вирази можна записати у вигляді логарифмічного рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифма числа 81 за основою 3 рівному чотирьом (log 3 81 = 4). Для від'ємних ступенів правила такі: 2 -5 = 1/32 запишемо у вигляді логарифма, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найбільш цікавих розділів математики є тема "логарифми". Приклади і розв'язки рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу ж після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності і як їх відрізнити від рівнянь. Дано вираз виду: log 2 (x-1) > 3 - воно є логарифмічним нерівністю, так як невідоме значення "х" знаходиться під знаком логарифма. А також у вираженні порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа за основою два більше, ніж число три. Найголовніша відмінність між логарифмічними рівнянь і нерівностей полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад - логарифм 2 x = ?9) передбачають відповідає одне або кілька певних числових значень, тоді як при вирішенні нерівності визначаються як область допустимих значень, так і точки розриву цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не просте безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а безперервний ряд або послідовність чисел.

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань по знаходженню значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічних рівняннях або нерівностях, в першу чергу, необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожне властивість більш докладно.

Основне тотожність виглядає так: а logaB =B. Воно застосовується лише за умови, коли а більше 0 не одно одиниці і B більше нуля.

Логарифм добутку можна представити наступною формулою: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов'язковою умовою є: d, s 1 і s 2 > 0 а?1. Можна навести доказ для цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 , тоді a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів), а далі за визначення: log a (s 1 *s 2 )= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 що і потрібно було довести.

Логарифм приватного виглядає так: log a (s 1/ s 2 ) = log a s 1 - log a s 2.

Теорема у вигляді формули набуває наступний вигляд: log a q b n = n/q log a b.

Називається ця формула "властивістю ступеня логарифма". Вона нагадує собою властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Давайте подивимося на доказ. Нехай log a b = t, виходить a t =b. Якщо звести обидві частини ступінь m: a tn = b n ; але так як a tn = (a q ) nt/q = b n отже log a q b n = (n*t)/t, тоді log a q b n = n/q log a b. Теорема доведена.

Приклади завдань і нерівностей

Найпоширеніші типи задач на тему логарифмів - приклади рівнянь і нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять в обов'язкову частину іспитів з математики. Для вступу в університет або здачі вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання. На жаль, єдиного плану або схеми за рішенням і визначення невідомого значення логарифма не існує, однак до кожного математичного нерівності або логарифмічним рівнянням можна застосувати певні правила. Насамперед слід з'ясувати, чи можна спростити вираз або привести до однакового вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте скоріше з ними познайомимося. При вирішенні ж логарифмічних рівнянь, слід визначити, який перед нами вид логарифма: приклад вираження може містити натуральний логарифм або ж десятковий. Ось приклади десяткових логарифмів: ln100 ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити ту ступінь, в якій підстава 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень ж натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або ж їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо рішення логарифмічних завдань різного типу.

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами і рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

Властивість логарифма добутку можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b на більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.

log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 15 - як бачите, застосовуючи четверте властивість ступеня логарифма, вдалося вирішити на перший погляд складне і нерешаемое вираз. Необхідно лише розкласти підставу на множники і потім винести значення ступеня знака логарифма.

Завдання з ЄДІ

Логарифми часто зустрічаються на вступних екзаменах, особливо багато логарифмічних завдань ЄДІ (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні не тільки в частині А (найлегша тестова частина іспиту), але і в частині (найбільш складні і об'ємні завдання). Іспит передбачає точне і ідеальне знання теми "Натуральні логарифми". Приклади і розв'язки задач взяті з офіційних варіантів ЄДІ. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання. Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
перепишемо вираз, трохи спростивши його log 2 (2x-1) = 2 2 за визначенням логарифму отримаємо, що 2x-1 = 2 4 отже 2x = 17; x = 85. Нижче наведено кілька рекомендацій, випливаючи яким можна з легкістю вирішувати всі рівняння, що містять вирази, які стоять під знаком логарифма.

Всі логарифми найкраще приводити до одного основи, щоб рішення не було громіздким і заплутаним.

Всі вирази, які стоять під знаком логарифма, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня виразу, який стоїть під знаком логарифма та його підстави, залишається під логарифмом вираз має бути позитивно.