Витоки даних нерівностей
Дослідження рівнянь Діофанту знаходиться на кордоні між теорією чисел та алгебраїчної геометрії. Пошук рішень в цілих змінних є однією з найстаріших математичних задач. Вже на початку другого тисячоліття до н. е. стародавніх вавилонян вдалося вирішити системи рівнянь з двома невідомими. Ця галузь математики найбільшою мірою процвітала в Стародавній Греції. Арифметика Діофанта (приблизно, 3-го століття н. е) є значущим і головним джерелом, яке містить різні типи і системи рівнянь.У цій книзі Діофант передбачав ряд методів вивчення нерівностей другого та третього ступенів, які були повністю розвинені в XIX столітті. Створення теорії раціональних чисел цим дослідником Давньої Греції призвело до аналізу логічних рішень невизначених систем, які систематично супроводжуються в його книзі. Незважаючи на те, що в його роботі містяться вирішення конкретних диофантових рівнянь, є підстави вважати, що він також був знайомий з кількома загальними методами. Вивчення цих нерівностей зазвичай пов'язане з серйозними труднощами. Зважаючи на те, що в них присутні многочлен з цілими коефіцієнтами F (x,y1, y n ). На основі цього, були створені висновки, що немає єдиного алгоритму, за допомогою якого можна було б для будь-якого заданого визначити x, виконується рівняння F (x, y 1 ,, y n ). Ситуація розв'язана для y 1 , , y n . Приклади таких многочленів можуть бути записані.
Найпростіше нерівність
ax + by = 1 де a і b - щодо цілі та прості числа, для нього є величезна кількість виконань (якщо x 0 y 0 сформований результат, то пара змінних x = x 0 + b n і y = y 0 -an , де n – довільне, також буде розглядатися як виконання нерівності). Іншим прикладом диофантових рівнянь служить x 2 + y 2 = z 2 . Позитивні інтегральні рішення цієї нерівності являють собою довжину малих сторін x, y і прямокутних трикутників, а також гіпотенузи z з цілими бічними розмірами. Ці числа відомі як піфагорійські числа. Всі триплети відносно простих зазначених вище змінних даються формулами x=m 2 – n 2 y = 2mn, z = m 2 + n 2 , де m і n - цілі і прості числа (m>n>0).
У дослідженнях цих нерівностей другого ступеня значні успіхи були досягнуті тільки в XX столітті. У А. Туэ було встановлено, що диофантово рівняння a 0 x n + a 1 x n-1 y ++a n y n =c, де n>=3 a 0 ,,a n ,c - цілі числа, а a 0 t n + + a n не може мати нескінченну кількість цілочисельних рішень. Однак метод Туэ не отримав належного розвитку. А. Бейкер створив ефективні теореми, що дають оцінки на виконанні деяких рівнянь такого роду. Б. Н. Делоне запропонував інший метод дослідження, застосовуваний до більш вузького класу цих нерівностей. Зокрема, вигляд ax 3 + y 3 = 1 повністю дозволимо цим способом.
Діофантові рівняння: методи рішення
Теорія Діофанту має багато напрямків. Таким чином, добре відомою проблемою в цій системі є гіпотеза, згідно з якою не існує нетривіальне рішення диофантових рівнянь x n + y n = z n якщо n >= 3 (питання Ферма). Вивчення цілочисельних виконання нерівності є природним узагальненням проблеми піфагорійських триплетів. Ейлер отримав позитивне рішення задачі Ферма для n = 4. В силу цього результату вона відноситься до доказу відсутніх чисел, ненульових досліджень рівняння, якщо n – непарне просте число. Дослідження, що стосується рішення, не було завершено. Труднощі з його виконанням пов'язані з тим, що проста факторизація в кільці цілих алгебраїчних чисел не єдина. Теорія дивизоров в цій системі для багатьох класів простих показників n дозволяє підтвердити справедливість теореми Ферма. Таким чином, існуючими методами і способами виконується лінійне диофантово рівняння з двома невідомими.
Види і типи описуваних завдань
Арифметика кілець цілих алгебраїчних чисел також використовується в багатьох інших задачах та рішеннях диофантових рівнянь. Наприклад, такі методи були застосовані при виконанні нерівностей виду N(a 1 x 1 ++ a n x n ) = m, де N(a) - норма a і x 1 , , x n знайдені інтегральні раціональні змінні. Цей клас включає рівняння Пелля x 2– dy 2 =1.Значення a 1 , a n які з'являються, ці рівняння поділяють на два типи. Перший тип – так звані повні форми – включають в себе рівняння, серед яких є m a лінійно незалежні числа над полем раціональних змінних Q, де m =[Q(a1,…,an):Q], в яких присутній ступінь алгебраїчних показників Q (a1, a n ) над Q. Неповними видами є ті, в яких максимальна кількість a i менше, ніж m. Повні форми простіше, їх дослідження завершено, і можна описати всі рішення. Другий тип – неповні види – складніше, а розробка такої теорії ще не завершена. Такі рівняння вивчаються з допомогою диофантових наближень, які включають нерівність F(x,y)=C, де F (x,y) – многочлен степеня n>=3 є неприводимим, однорідним. Таким чином, можна припустити, що y i -> ?. Відповідно, якщо y i досить велике, то нерівність буде суперечити теоремі Туэ, Зигеля і Рота, з якої виходить, що F(x,y)=C, де F - форма третього ступеня або вище, неприводимая не може мати нескінченну кількість розв'язків.
Як вирішити диофантово рівняння?
Даний приклад становить досить вузький клас серед всіх. Наприклад, незважаючи на їх простоту, x 3 + y 3 + z 3 = N, а також x 2 +y 2 +z 2 +u 2 = N не входять в цей клас. Вивчення рішень є досить ретельно дослідженої гілкою диофантових рівнянь, де в основі лежить уявлення квадратичними формами чисел. Лагранж створив теорему, яка свідчить, що виконання існує для всіх природних N. Будь-яке натуральне число може бути представлено у вигляді суми трьох квадратів (теорема Гаусса), але воно не повинно мати вигляд 4 a (8K-1), де a і k невід'ємні цілі показники. Раціональні або інтегральні рішення системи диофантового рівняння типу F (x 1 , , x n ) = a, де F (x 1 , , x n ) є квадратичною формою з цілими коефіцієнтами. Таким чином, згідно з теоремою Мінковського-Хассе, нерівність ?a ij x i x j = b, де a ij і b раціонально, має інтегральне рішення в дійсних і p-адических числах для кожного простого числа p тільки тоді, коли воно розв'язується в цій структурі. Із-за властивих труднощів вивчення чисел з довільними формами третього ступеня і вище вивчалося в меншій мірі. Головним методом виконання є спосіб тригонометричних сум. У даному випадку число рішень рівняння явно виписується в термінах інтеграла Фур'є. Після чого метод оточення використовується для вираження кількості виконання нерівності відповідних конгруэнций. Спосіб тригонометричних сум залежить від алгебраїчних особливостей нерівностей. Існує велика кількість елементарних методів для розв'язання лінійних диофантових рівнянь.
Диофантов аналіз
Відділення математики, предметом якого є дослідження інтегральних та раціональних рішень систем рівнянь алгебри методами геометрії, з тієї ж сфери. У другій половині XIX століття поява цієї теорії чисел призвело до вивчення рівнянь Діофанту з довільного поля з коефіцієнтами, і рішення розглядалися або в ньому або в його кільцях. Система алгебраїчних функцій розвивалася паралельно з числами. Основна аналогія між двома, яка була підкреслена Д. Гильбертом і, зокрема, Л. Кронекером, призвела до рівномірного побудови різних арифметичних концепцій, які зазвичай називаються глобальними. Це особливо помітно, якщо вивчаються алгебраїчних функцій над кінцевим полем констант є однією змінною. Такі поняття, як теорія полів класів, дільник, а також розгалуження і результати є гарною ілюстрацією вищевикладеного. Ця точка зору була прийнята в системі диофантових нерівностей тільки пізніше, а систематичне дослідження не тільки з чисельними, але і з коефіцієнтами, які є функціями, почалося тільки в 1950-х роках. Одним з вирішальних факторів у цьому підході було розвиток алгебраїчної геометрії. Одночасне вивчення полів чисел і функцій, які виникають дві однаково важливі сторони одного і того ж суб'єкта, не тільки давало витончені і переконливі результати, але призводило до взаємного збагачення двох тем. В алгебраїчної геометрії поняттям різноманіття замінюється неинвариантний набір нерівностей над цим полем K, а їх рішення замінюються раціональними точками зі значеннями K або в кінцевому його розширенні. Можна, відповідно, сказати, що фундаментальна задача диофантовой геометрії полягає у вивченні раціональних точок алгебраїчного множини X(K), X при цьому певні числа у полі K. Цілочисельне виконання має геометричний сенс в лінійних диофантових рівняннях.Дослідження нерівностей і варіанти виконання
При вивченні раціональних (або інтегральних) точок на алгебраїчних багатовидів виникає перша проблема, яка полягає в їх існуванні. Десята завдання Гільберта сформульована як проблема знаходження загального методу розв'язання цього питання. У процесі створення точного визначення алгоритму і після того, як було доведено, що подібних виконань для великого числа завдань не існує, проблема набула очевидний негативний результат, і найбільш цікавим питанням є визначення класів диофантових рівнянь, для яких існує зазначена вище система. Найбільш природним підходом, з алгебраїчної точки зору, є так званий принцип Хассе: початкове поле K вивчається разом з його поповненнями K v по всім можливим оцінками. Оскільки X(K) = X(K v ) є необхідною умовою існування, а K точка враховує, що безліч X(K v ) не порожні для всіх v. Важливість полягає в тому, що він зводить дві проблеми. Друга набагато простіше, вона вирішувана відомим алгоритмом. У приватному разі, коли різноманіття X проективно, лема Гензеля і його узагальнення роблять можливим подальше скорочення: проблему можна звести до вивчення раціональних точок над кінцевим полем. Потім він вирішується будувати концепцію або шляхом послідовного дослідження, або більш ефективними методами. Останнє важливе міркування полягає в тому, що множини X(K v ) є непустими для всіх v, за винятком кінцевого числа, так що кількість умов завжди кінцеве, і вони можуть бути ефективно перевірені. Однак принцип Хассе не застосуємо до кривих ступеня. Наприклад, 3x 3 + 4y 3 =5 має точки у всіх p-адических числових полях і в системі дійсних чисел, але не має раціональних точок. Цей спосіб став відправним пунктом для побудови концепції, що описує класи головних однорідних просторів абелевих многовидів для виконання «відхилення» від принципу Хассе. Воно описується в термінах спеціальної структури, які можуть бути пов'язані з кожним різноманіттям (група Тейта-Шафаревича). Основна трудність теорії полягає в тому, що методи обчислення груп складно отримати. Ця концепція також була поширена на інші класи алгебраїчних багатовидів.
Пошук алгоритму виконання нерівностей
Інша евристична ідея, яка використовується при вивченні диофантових рівнянь, полягає в тому, що якщо число змінних, які беруть участь у безлічі нерівностей – велике, то система зазвичай має рішення. Однак це дуже важко довести для будь-якого конкретного випадку. Загальний підхід до проблем цього типу використовує аналітичну теорію чисел і заснований на оцінках тригонометричних сум. Цей метод спочатку застосовувався до спеціальних видів рівнянь. Проте згодом було доведено, що якщо форма непарної ступеня – це F, d і n змінних і з раціональними коефіцієнтами, то n досить велике у порівнянні з d, таким чином, має раціональну точку проективна гіперповерхні F = 0. Згідно з гіпотезою Артина, цей результат вірний, навіть якщо n > d 2 . Це доведено лише для квадратичних форм. Аналогічні проблеми можуть бути задані і для інших полів. Центральною проблемою диофантовой геометрії є структура множини цілих або раціональних точок і їх вивчення, а перше питання, яке потрібно уточнити, полягає в тому, чи є це безліч кінцевим. У цій задачі ситуація зазвичай має кінцеве кількість виконань, якщо ступінь системи набагато більше, ніж число змінних. Це і є основне припущення.Нерівності на лініях і кривих
Група X(K) може бути представлена як пряма сума вільної структури рангу r і кінцевої групи порядку n. З 1930-х років вивчається питання про те, обмежені ці числа на множині всіх еліптичних кривих над полем K. Обмеженість кручення n була продемонстрована в сімдесятих роках. Існують криві довільного високого рангу у функціональному випадку. У числовому випадку досі немає відповіді на це питання. Нарешті, гіпотеза Морделла стверджує, що кількість інтегральних точок є кінцевим для кривої роду g>1. У функціональному разі ця концепція була продемонстрована Ю. І. Маниним в 1963 році. Основним інструментом, використовуваним при доказі теорем кінцівки в диофантовой геометрії, є висота. З алгебраїчних багатовидів розмірності вище одиниці абелеви різноманіття, які є багатовимірними аналогами еліптичних кривих, були найбільш ретельно вивчені. А. Вейль узагальнив теорему про кінцівки числа утворюють групи раціональних точок на абелеви різноманіття будь-якої розмірності (концепція Морделла-Вейля), поширивши її. У 1960-х роках з'явилася гіпотеза Берча і Суиннертона-Дайєра, усовершенствовавшая цю групу і дзета-функції різноманіття. Числові докази підтверджують цю гіпотезу.
Проблема розв'язності
Задача знаходження алгоритму, за допомогою якого можна визначити, чи має яке-небудь диофантово рівняння спосіб вирішення. Суттєвою особливістю поставленої задачі є пошук універсального методу, який був би придатним для будь-якої нерівності. Такий метод також дозволив би вирішувати зазначені вище системи, так як він еквівалентний P21+···+P2k=0.п1= 0 , , PK= 0п = 0,пК = 0 або п21+ ··· + Р2К= 0 . п12+···+пК2=0. Проблема знаходження такого універсального способу виявлення рішень для лінійних нерівностей в цілих числах була поставлена Д. Гильбертом. На початку 1950-х років з'явилися перші дослідження, спрямовані на доказ не існування алгоритму рішення диофантових рівнянь. У цей час з'явилася гіпотеза Девіса, в якій говорилося, що будь перечислимое безліч також належить грецькому вченому. Оскільки приклади алгоритмічно нерозв'язних множин відомі, але є рекурсивно перечислимими. Випливає, що гіпотеза Девіса вірна і проблема розв'язання цих рівнянь має від'ємне виконання. Після цього для гіпотези Девіса залишилося довести, що існує метод перетворення нерівності, яка також (чи не мала) в той же час рішення. Було показано, що така зміна диофантового рівняння можливо, якщо воно з зазначеними двома властивостями: 1) в будь-якому рішенні цього типу v <= uu ; 2) для будь-якого k існує виконання, в якому є експонентний ріст.