З дробами ми стикаємося в житті набагато раніше, ніж починається їх вивчення в школі. Якщо ціле яблуко розрізати навпіл, то ми отримаємо частину фрукта – 1/2 . Разрежем ще раз – буде 1/4 . Це і є дробу. І все, здавалося б, просто. Для дорослої людини. Для дитини ж (а дану тему починають вивчати наприкінці молодшої школи) абстрактні математичні поняття ще лякаюче незрозумілі, і викладач повинен доступно пояснити, що таке правильна і неправильна дріб, звичайний і десятковий, які операції можна з ними робити і, головне, для чого все це потрібно.

Які бувають дробу

Знайомство з новою темою в школі починається з звичайних дробів. Їх легко впізнати по горизонтальній лінії, що розділяє два числа – зверху і знизу. Верхнє називається чисельником, нижнє – знаменником. Існує і рядковий варіант написання неправильних і правильних звичайних дробів – через косу риску, наприклад: 1/2 , 4/9384/183. Такий варіант використовується, коли висота рядка обмежена і немає можливості застосувати «двоповерхову» форму запису. Чому? Та тому що вона зручніше. Трохи пізніше ми в цьому переконаємося. Крім звичайних, існують також десяткові дроби. Розрізнити їх дуже просто: якщо в одному випадку використовується горизонтальна або похила риска, то в іншому – кома розділяє послідовності цифр. Подивимося приклад: 29; 16334; 1953. Ми навмисно скористалися крапкою з комою в якості роздільника, щоб розмежувати числа. Перше з них буде читатися так: «дві цілих, дев'ять десятих».

Нові поняття

Повернемося до звичайним дробям. Вони бувають двох видів. Визначення правильної дробу звучить наступним чином: це така дріб, чисельник якої менше знаменника. Чому це важливо? Зараз побачимо! У вас є кілька яблук, розділених на половинки. Всього – 5 частин. Як ви скажете: у вас «два з половиною» або «п'ять друге» яблука? Звичайно, перший варіант звучить природніше, і при розмові з друзями ми скористаємося ним. А от якщо потрібно порахувати, скільки фруктів дістанеться кожному, якщо в компанії п'ять чоловік, ми запишемо число 5/2 і розділимо його на 5 – з точки зору математики це буде наочніше. Отже, для найменування правильних і неправильних дробів правило таке: якщо в дробу можна виділити цілу частину (14/5 2/1173/16 3/3), то вона є неправильною. Якщо цього зробити не можна, як у випадку з 1/2 , 13/16 9/10 вона буде правильною.

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу одночасно помножити або поділити на одне і те ж число, її величина не зміниться. Уявіть: торт розрізали на 4 рівні частини і дали вам одну. Такий же торт порізали на вісім частин і дали вам дві. Чи Не все одно? Адже 1/4 і 2/8 – це одне і те ж!

Скорочення

Автори задач і прикладів у підручниках з математики часто прагнуть заплутати учнів, пропонуючи громіздкі в написанні дроби, які насправді можна скоротити. Ось приклад правильної дробу: 167/334 який, здавалося б, виглядає дуже страшно». Але насправді ми можемо записати його як 1/2 . Число 334 ділиться на 167 без залишку – зробивши таку операцію, ми отримаємо 2.

Мішані числа

Неправильний дріб можна представити у формі змішаного числа. Це коли ціла частина винесена вперед і записана на рівні горизонтальної риси. Фактично вираз приймає вигляд суми: 11/2 = 5 + 1/2 ; 13/6 = 2 + 1/6 і так далі. Щоб винести цілу частину, треба поділити чисельник на знаменник. Залишок від ділення записати зверху, над рисою, а цілу частину виразу. Таким чином, ми отримуємо дві структурні частини: цілі одиниці + правильну дріб. Можна здійснити і зворотну операцію – для цього потрібно цілу частину помножити на знаменник і додати отримане значення до числителю. Нічого складного.

Множення і ділення

Як не дивно, множити дробу простіше, ніж складати. Всього-то й потрібно - продовжити горизонтальну риску: (2/3) * (3/5) = 2*3 /3*5 = 2/5. З поділом теж все просто: потрібно перемножити дробу хрест-навхрест: (7/8) /(14/15) = 7*15 /8*14 = 15/16.

Додавання дробів

Що робити, якщо потрібно здійснити додавання або віднімання дробів, а в знаменнику у них різні числа? Вчинити так само, як з множенням, не вийде – тут слід розуміти визначення правильної дробу і її сутність. Потрібно привести складові до спільного знаменника, тобто в нижній частині обох дробів повинні бути однакові числа. Щоб це здійснити, слід скористатися основною властивістю дробу: помножити обидві частини на одне і те ж число. Наприклад, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = 1/2 . Як же вибрати, до якогось знаменника приводити доданки? Це має бути мінімальне число, кратне обом чисел, які стоять у знаменателях дробів: для 1/3 і 1/9 це буде 9; для 1/2 і 1/7 – 14 бо меншого значення, ділиться без залишку на 2 і 7 не існує.

Використання

Для чого потрібні неправильні дроби? Адже набагато зручніше відразу виділити цілу частину, отримати змішане число – і справа з кінцем! Виявляється, якщо потрібно виконати множення або ділення двох дробів, вигідніше скористатися саме неправильними.
Візьмемо такий приклад: (2 + 3/17) /(37 /68). Здавалося б, скоротити і зовсім нічого. Але що, якщо записати результат додавання в перших дужках у вигляді неправильного дробу? Подивіться: (37/17) /(37/68) Тепер все стає на свої місця! Запишемо приклад таким чином, щоб все стало очевидно: (37*68) /(17*37). Скоротимо 37 в чисельнику і знаменнику і, нарешті, розділимо верхню і нижню частини на 17. Ви ж пам'ятайте основне правило для правильної і неправильної дробу? Ми можемо множити і ділити їх на будь-яке число, якщо робимо це одночасно для чисельника і знаменника. Отже, отримуємо відповідь: 4. Приклад виглядав складним, а відповідь містить всього одну цифру. В математиці так часто відбувається. Головне – не боятися і слідувати простим правилам.

Поширені помилки

При здійсненні дій з дробами учень може легко здійснити одну з популярних помилок. Зазвичай вони відбуваються через неуважність, а іноді – з-за того, що вивчений матеріал ще не відклалося в голові як слід. Нерідко сума чисел, що стоїть у чисельнику, викликає бажання скоротити окремі її компоненти. Припустимо, у прикладі: (13 + 2) /13 написаному без дужок (з горизонтальною рискою), багато учні по недосвідченості закреслюють 13 зверху і знизу. Але так робити не можна ні в якому разі, адже це груба помилка! Якщо б замість складання стояв знак множення, ми отримали б у відповіді число 2. Але при здійсненні складання ніякі операції з одним з доданків не дозволені тільки зі всією сумою цілком. Ще хлопці часто помиляються при діленні дробів. Візьмемо дві правильні несократимие дробу і розділимо один на одного: (5/6) /(25/33). Учень може переплутати і записати вираз як результуюче (5*25) /(6*33). Але так вийшло б при множенні, а в нашому випадку все буде трохи інакше: (5*33) /(6*25). Скорочуємо те, що можливо, і у відповіді побачимо 11/10. Отриману неправильний дріб запишемо як десяткову - 11.

Дужки

Пам'ятайте, що в будь-яких математичних виразах порядок дій визначається пріоритетом знаків операцій і наявністю дужок. При інших рівних відлік черговості виконання дій відбувається зліва направо. Це актуально і для дробів – вираз в чисельнику або знаменнику розраховується строго за цим правилом. Адже що таке правильна дріб? Це результат ділення одного числа на інше. Якщо вони не діляться націло, виходить дріб – от і все.

Як записати дріб на комп'ютері

Оскільки стандартні засоби не завжди дозволяють створити дріб, що складається з двох ярусів», учні деколи йдуть на різні хитрощі. Наприклад, копіюють чисельники і знаменники в графічний редактор «Пейнт» і склеюють їх воєдино, малюючи між ними горизонтальну лінію. Звичайно, є більш простий варіант, який, до речі, і надає масу додаткових можливостей, які будуть корисні вам у майбутньому. Відкрийте «Майкрософт Ворд». Одна з панелей у верхній частині екрана носить назву «Вставка» - натисніть її. Праворуч, в тій стороні, де розташовані значки закриття і згортання вікна, є кнопка «Формула». Це саме те, що нам потрібно! Якщо ви скористаєтеся цією функцією, на екрані з'явиться прямокутна область, в якій можна використовувати будь-які математичні знаки, відсутні на клавіатурі, а також писати дробу в класичному вигляді. Тобто розділивши чисельник і знаменник горизонтальною рискою. Ви навіть можете здивуватися, що таку правильну дріб настільки легко записати.

Вивчайте математику

Якщо ви вчитеся в 5-6 класі, то вже скоро знання математики (у тому числі – вміння працювати з дробами!) потрібно в багатьох шкільних предметах. Практично в будь-якої задачі з фізики, при вимірюванні маси речовин в хімії, геометрії і тригонометрії без дробів ніяк не обійтися. Вже скоро ви навчитеся визначати всі в голові, навіть не записуючи вираження на папері, але будуть з'являтись все більш і більш складні приклади. Тому вивчіть, що таке правильна дріб і як з нею працювати, не відставайте за навчальною програмою, своєчасно робіть домашні завдання, і тоді ви досягнете успіху.