Дробу бувають звичайні і десяткові. Коли школяр дізнається про існування останніх, він починає при кожному зручному випадку перекладати все, що можливо, в десятковий вигляд, навіть якщо цього не вимагається. Як не дивно, у старшокласників і студентів уподобання змінюються, тому що простіше виконувати багато арифметичні дії з звичайними дробами. Та й значення, з якими мають справу випускники, перетворити десятковий вигляд без втрат часом буває просто неможливо. В результаті обидва види дробів виявляються, так чи інакше, пристосовані до справи і володіють своїми перевагами і недоліками. Подивимося, як з ними працювати.

Визначення

Дроби - це ті ж частки. Якщо в апельсині десять часточок, а вам дали одну, то у вас в руці 1/10 частина фрукта. При такому записі, як у попередньому реченні, дріб буде називатися звичайної. Якщо написати те ж саме як 01 - десятковою. Обидва варіанти є рівноправними, однак мають свої переваги. Перший варіант зручний при множенні і діленні, другий - при додаванні, відніманні і в ряді інших випадків.

Як перевести дріб на інший вид

Припустимо, у вас є звичайна дріб, і ви хочете зробити з неї десяткову. Що для цього потрібно зробити? До слова сказати, потрібно заздалегідь визначитися, що не будь-яке число можна без проблем записати в десятковому вигляді. Іноді доводиться результат округляти, втрачаючи деяку кількість знаків після коми, а в багатьох областях – наприклад, у точних науках – це скоєно недозволена розкіш. У той же час дії з десятковими і звичайними дробами в 5 класі дозволяють здійснювати таке переведення з одного виду в інший без перешкод, хоча б в якості тренування.


Якщо знаменника шляхом множення або ділення на ціле число можна отримати значення, кратне 10 переклад пройде без будь-яких труднощів: 3/4 перетворюється в 07513/20 – 065. Зворотна процедура виконується ще простіше, оскільки з десяткової дробу можна завжди отримати звичайну без втрат точності. Наприклад, 02 стає 1/5 а 008 – 4/25.

Внутрішні перетворення

Перш ніж здійснювати спільні дії з звичайними дробами, потрібно підготувати до числа можливим математичним операціям. Насамперед потрібно привести всі наявні в прикладі дроби до одного загального виду. Вони повинні бути звичайними, або десятковими. Відразу обмовимося, що множення і ділення зручніше виконувати з першими. У підготовці чисел до подальших дій вам допоможе правило, відоме як основна властивість дробу використовується як у перші роки вивчення предмета, так і у вищій математиці, яку вивчають в університетах.

Властивості дробів

Припустимо, у вас є деяке значення. Скажімо, 2/3. Що зміниться, якщо ви помножите чисельник і знаменник на 3? Вийде 6/9. А якщо на мільйон? 2000000/3000000. Але стривайте, адже число якісно абсолютно не змінюється – 2/3 залишаються рівні 2000000/3000000. Змінюється тільки форма, але не зміст. Те ж саме відбудеться при діленні обох частин на одне і те ж значення. В цьому і полягає основна властивість дробу, яке неодноразово допоможе вам робити дії з десятковими і звичайними дробами на контрольних і іспитах.
Множення чисельника і знаменника на одне і те ж число називається розширенням дробу, а ділення – скороченням. Треба сказати, що закреслення однакових чисел у верхній і нижній частині при перемножении і діленні дробів – дивно приємна процедура (у рамках уроку математики, звичайно). Створюється враження, що відповідь вже близький і приклад практично вирішене.

Неправильні дроби

Неправильним дробом називається така, у якої чисельник більше знаменника або дорівнює. Іншими словами, якщо у неї можна виділити цілу частину, вона потрапляє під це визначення. Якщо таке число (більше або дорівнює одиниці) представлено у вигляді звичайного дробу, вона буде називатися неправильною. А якщо чисельник менше знаменника – правильною. Обидва виду однаково зручні при здійсненні можливих дій із звичайними дробами. Їх можна безперешкодно множити і ділити, додавати та віднімати. Якщо ж одночасно виділена ціла частина і при цьому є залишок у вигляді дробу, отримане число називатиметься змішаним. В майбутньому ви зіткнетеся з різними способами комбінації таких структур зі змінними, а також рішенням рівнянь, де потрібні ці знання.

Арифметичні операції

Якщо з основною властивістю дробу все зрозуміло, то як вести себе при перемножении дробів? Дії з звичайними дробами в 5 класі мають на увазі всі види арифметичних операцій, які виконуються двома різними способами. Множення і ділення виконуються дуже просто. В першому випадку просто перемножуються чисельники і знаменники двох дробів. У другому – те ж саме, тільки хрест-навхрест. Таким чином, чисельник першого дробу множиться на знаменник другого, і навпаки. Для виконання додавання і віднімання потрібно провести додаткове дію – привести всі компоненти вираз до спільного знаменника. Це означає, що нижні частини дробів повинні бути змінені до однакового значення – кратного обом наявним знаменників. Наприклад, для 2 і 5 це буде 10. Для 3 і 6 – 6. Але що тоді робити з верхньою частиною? Ми ж не можемо залишити її в колишньому вигляді, якщо змінили нижню. Згідно основної властивості дробу ми помножимо чисельник на те саме число, що і знаменник. Ця операція повинна бути проведена з кожним з чисел, які ми будемо додавати або віднімати. Втім, такі дії з звичайними дробами в 6 класі виконуються вже «на автоматі», а труднощі виникають лише на початковому етапі вивчення теми.

Порівняння

Якщо у двох дробів однаковий знаменник, то більше буде та з них, чисельник якого більше. Якщо ж однакові верхні частини, то більше буде та, у якої менше знаменник. Варто мати на увазі, що такі вдалі ситуації для порівняння випадають нечасто. Швидше за все, і верхні, і нижні частини виразів збігатися не будуть. Тоді потрібно згадати про можливі дії з звичайними дробами і використовувати прийом, застосовуваний при додаванні і відніманні. Крім того, пам'ятайте, що якщо ми говоримо про негативні числах, то більша за модулем дріб виявиться меншою.

Переваги звичайних дробів

Трапляється, що викладачі кажуть дітям одну фразу, зміст якої можна виразити так: чим більше інформації дано при формулюванні завдання, тим простіше буде рішення. Здається, що звучить дивно? Але справді: при великій кількості відомих величин можна користуватися практично будь-якими формулами, а от якщо надана лише пара чисел, можуть знадобитися додаткові роздуми, доведеться згадувати і доводити теореми, наводити аргументи на користь своєї правоти До чого ми це? Та до того, що звичайні дроби при всій своїй громіздкість можуть сильно спростити життя учня, дозволяючи при перемножении та розподілі скорочувати цілі рядки значень, а при розрахунку суми і різниці виносити загальні аргументи і, знову ж таки, скорочувати їх. Коли потрібно здійснити спільні дії з звичайними і десятковими дробами, трансформації здійснюються на користь перших: як ви переведете 3/17 в десятковий вигляд? Тільки з втратами інформації, не інакше. А ось 01 можна представити як 1/10 а далі – як 17/170. І тоді два одержані числа можна додавати або віднімати: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Чим корисні десяткові дроби

Якщо дії з звичайними дробами здійснювати і зручніше, то записувати всі з їх допомогою вкрай незручно, десяткові тут мають суттєву перевагу. Порівняйте: 1748/10000 і 01748. Це одне і те ж значення, представлене у двох різних варіантах. Зрозуміло, що другий спосіб простіше! Крім того, десяткові дроби простіше уявити, оскільки всі дані мають загальну основу, відмітне виключно на порядки. Скажімо, знижку в 30% ми легко уявляємо і навіть оцінимо як значну. А чи одразу ви зрозумієте, що більше – 30% або 137/379? Таким чином, десяткові дроби забезпечують стандартизацію розрахунків. У старших класах учні вирішують квадратні рівняння. Виконувати дії з звичайними дробами тут вже вкрай проблематично, оскільки формула для розрахунку значень змінної містить квадратний корінь із суми. При наявності дробу, не зводилася до десяткової, рішення ускладнюється настільки, що розрахувати точну відповідь без калькулятора стає практично неможливо. Отже, кожен спосіб подання дробів має свої переваги у відповідному контексті.

Форми запису

Існує два способи запису дій із звичайними дробами: через горизонтальну риску, два «ярусу», і через похилу риску (вона ж – «слеш») - в рядок. Коли учень пише в зошиті, перший варіант зазвичай зручніше, а тому й більш поширений. Розподіл рядом цифр по клітинках сприяє розвитку уважності при розрахунках та проведенні перетворень. При запису в рядок можна по неуважності переплутати порядок дій, втратити якісь дані – тобто, помилитися. Досить часто в наш час виникає необхідність надрукувати числа на комп'ютері. Розділяти дробу традиційної горизонтальною рискою можна, використовуючи функцію в програмі «Майкрософт Ворд» 2010 і пізнішого року випуску. Справа в тому, що в цих версіях софта є опція під назвою «формула». Вона виводить на екран прямокутне трансформоване поле, в рамках якого можна комбінувати будь-які математичні символи, складати і двох-, і «чотириповерхові» дроби. В знаменнику і чисельнику можна користуватися дужками, знаками операцій. В результаті ви зможете записати будь-які спільні дії з звичайними і десятковими дробами в традиційній формі, тобто так, як це вчать робити в школі. Якщо ж ви будете користуватися стандартним текстовим редактором «Блокнот», то всі дробові вирази потрібно буде писати через похилу риску. Іншого способу тут, на жаль, не передбачено.

Висновок

Ось ми і розглянули всі основні дії з звичайними дробами, яких, виявляється, не так вже й багато. Якщо спочатку може здаватися, що це складний розділ математики, то це лише тимчасове враження – пам'ятаєте, коли ви так думали про таблицю множення, а ще раніше – про звичайні прописи і рахунок від одного до десяти. Важливо розуміти, що дробу використовуються в повсякденному житті всюди. Ви будете мати справу з грошима та інженерними розрахунками, інформаційними технологіями та музичною грамотою, і скрізь – скрізь! – дробові числа будуть фігурувати. Тому не полінуйтеся і прочитайте цю тему гарненько - тим більше не така вже вона і складна.