Вже в початковій школі учні стикаються з дробами. І потім вони з'являються в кожній темі. Забувати дії з цими числами можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися у всьому по порядку.

Навіщо потрібні дробу?

Навколишній світ складається з цілих предметів. Тому в частках необхідності немає. Зате повсякденне життя постійно наштовхує людей на роботу з частинами предметів і речей. Наприклад, шоколад складається з декількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її розділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А от п'ятьом не вдасться дати по цілому числу часточок шоколаду.


До речі, ці часточки - вже дробу. А подальше їх поділ призводить до появи більш складних чисел.

Що таке «дріб»?

Це число, що складається з частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою рискою. Ця риса має назву дробової. Число, записане зверху (зліва), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником. По суті, дробова риса виявляється знаком ділення. То є чисельник можна назвати діленим, а знаменник — дільником.

Які існують дробу?

В математиці їх є всього два види: звичайні і десяткові дроби. З першими школярі знайомляться в початкових класах, називаючи їх просто «дроби». Другі дізнаються в 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.


Звичайні дроби — всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова — це число, в якому дробова частина має позиційну запис і відділяється від цілої за допомогою коми. Приміром, 47. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведених прикладу — це зовсім різні числа. Кожну просту дріб можна записати у вигляді десяткової. Це твердження майже завжди вірно і в зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайної дробом десяткову дріб.

Які підвиди мають зазначені види дробів?

Почати краще в хронологічному порядку, так як вони вивчаються. Першими йдуть звичайні дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.

Правильна. Її чисельник завжди менше знаменника.

Неправильна. У неї чисельник більше знаменника або дорівнює.

Сократимая/несократимая. Вона може виявитися як правильним, так і неправильним. Важливо інше, що є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них покладається розділити обидві частини дробу, тобто скоротити її.

Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.

Складова. Вона утворюється з двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується відразу три дробові риси.

У десяткових дробів є всього два підвиди:

кінцева, тобто та, у якої дробова частина обмежена (має кінець);

нескінченна — число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).

Як переводити десяткову дріб у звичайну?

Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі — як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її і записати, але вже без коми, а з дробовою рискою.
В якості підказки про необхідному знаменнику, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх треба написати стільки, скільки цифр в дробовій частині розглянутого числа. Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їх ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 09 або 005. Після застосування зазначеного правила, виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але воно не вказується. Залишається записати тільки дробові частини. У першого числа знаменник дорівнює 10 другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями будуть мати числа: 9/10 5/100. Причому останнє виявляється можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20. Як десяткової дробу зробити звичайну, якщо її ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 523 або 1300108. В обох прикладах читається ціла частина і записується її значення. У першому випадку це — 5 у другому — 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними належить провести ту ж операцію. У першого числа з'являється 23/100 у другого — 108/100000. Друге значення знову потрібно скоротити. У відповіді виходять такі мішані дроби: 523/100 і 1327/25000.

Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?

Якщо вона є непериодической, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожна десяткова дріб завжди переводиться або в кінцеву або періодичну. Єдине, що допускається робити з такою дробом, — це округляти її. Але тоді десяткова буде приблизно дорівнює тієї нескінченної. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переклад в десяткову — ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дроби в звичайні не переводяться. Це потрібно запам'ятати.

Як записати нескінченну періодичну дріб у вигляді звичайного?

В цих числах після коми завжди з'являються одна або декілька цифр, які повторюються. Їх називають періодом. Наприклад, 03(3). Тут «3» у періоді. Їх відносять до класу раціональних, так як можуть бути перетворені на звичайні дроби. Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими або змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дробова частина починається з будь-яких цифр, а потім починається повтор. Правило, за яким потрібно записати у вигляді звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить просто. Як з кінцевими, їх потрібно перетворити: чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9 що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період. Наприклад, 0(5). Цілій частині числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. В чисельник записати 5 а в знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9. Правило про те, як записати звичайної десяткову періодичну дріб, яка є змішаною.

Порахувати цифри дробової частини до періоду. Вони будуть вказувати кількість нулів у знаменнику.

Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.

Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.

Щоб визначити чисельник, потрібно записати різниця двох чисел. Уменьшаемим будуть всі цифри після коми, разом з періодом. Від'ємником — воно ж без періоду.

Наприклад, 05(8) - запишіть періодичну десяткову дріб у вигляді звичайного. В дробової частини до періоду варто одна цифра. Значить нуль буде один. У періоді теж тільки одна цифра — 8. Тобто одна дев'ятка. Тобто в знаменнику потрібно написати 90. Для визначення чисельника з 58 треба відняти 5. Виходить 53. Відповіддю до наприклад доведеться записати 53/90.

Як переводяться звичайні дроби в десяткові?

Найпростішим варіантом виявляється число, в знаменнику стоїть число 10100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між десятковими та цілої частинами ставиться кома. Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється в 10100 і т. д. Наприклад, числа 52025. Їх досить помножити на 2 5 та 4 відповідно. Тільки множити покладається не тільки знаменник, але і чисельник на те ж число. Для всіх інших випадків стане в нагоді просте правило: поділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцева або періодичний десятковий дріб.

Дії з звичайними дробами

Додавання і віднімання З ними учні знайомляться раніше інших. Причому спочатку у дробів однакові знаменники, а потім різні. Загальні правила можна звести до такого плану.

Знайти найменше спільне кратне знаменників.

Записати додаткові множники до всіх звичайним дробям.

Помножити чисельники і знаменники на визначені для них множники.

Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.

Якщо чисельника зменшуваного менше вичитаемого, то потрібно з'ясувати, перед нами мішане число або правильна дріб.

У першому випадку у цілої частини потрібно зайняти одиницю. До числителю дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.

У другому — необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля вичитаемого відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».

Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшла неправильна дріб, то належить виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.

Множення і ділення Для їх виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це спрощує виконання дій. Але у них все одно покладається слідувати правилам.

При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа числителях і знаменателях. Якщо який-небудь чисельник і знаменник мають спільний множник, то їх можна скоротити.

Перемножити чисельники.

Перемножити знаменники.

Якщо вийшла сократимая дріб, то її належить знову спростити.

При поділі потрібно спочатку замінити поділ на множення, а дільник (другу дріб) — на зворотну дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).

Потім діяти як при множенні (починаючи з пункту 1).

В завданнях, де помножити (ділити) потрібно на ціле число, останнім належить записати у вигляді неправильного дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як було описано вище.

Дії з десятковими дробами

Додавання і віднімання Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайну. І діяти по вже описаному планом. Але іноді зручніше діяти без цього перекладу. Тоді правила додавання і віднімання будуть абсолютно однаковими.

Зрівняти кількість цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній відсутня кількість нулів.

Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.

Скласти (відняти) як натуральні числа.

Знести кому.

Множення і ділення Важливо, що тут не потрібно дописувати нулі. Дробу годиться залишати в тому вигляді, як вони подані в прикладі. А далі йти за планом.

Для множення потрібно написати дробу одна під інший, не звертаючи уваги на коми.

Помножити, як натуральні числа.

Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх стоїть у дробових частинах обох множників.

Для ділення потрібно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10100 і т. д. залежно від того, скільки цифр в дробовій частині дільника.

На те ж число помножити ділене.

Поділити десятковий дріб на натуральне число.

Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться ділення цілої частини.

Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?

Так у математиці часто зустрічаються приклади, в яких потрібно виконати дії над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа і вибрати оптимальний. Перший шлях: представити звичайні десятковими Він підходить, якщо при поділі або переведенні виходять кінцеві дробу. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, то цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати з звичайними дробами, доведеться рахувати їх. Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними Цей прийом виявляється зручним, якщо в частині після коми стоять 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже велика звичайна дріб і десяткові запису дозволять порахувати завдання швидше і простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання і вибирати найпростіший метод рішення.