Львів
C
» » Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань

Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань

При вивченні абсолютно будь-просторової фігури важливо знати, як розраховувати її обсяг. У даній статті наводиться формула обсягу правильної чотирикутної піраміди, а також на прикладі розв'язання задач показано як цією формулою слід користуватися.

Про який піраміді піде мова?

Кожному школяреві старших класів відомо, що піраміда являє собою многогранник, який складається з трикутників і багатокутника. Останній є підставою фігури. Трикутники мають одну спільну сторону з підставою і перетинаються в єдиній точці, яка є вершиною піраміди. Кожна піраміда характеризується довжиною сторін підстави, довжиною бічних ребер і висотою. Остання являє собою перпендикулярний відрізок, опущений з вершини до основи фігури. Правильна чотирикутна піраміда являє собою фігуру з квадратною основою, висота якої перетинає цей квадрат в його центрі. Мабуть, найвідомішим прикладом пірамід цього типу є стародавні єгипетські кам'яні будови. Нижче наведена фотографія піраміди Хеопса.


Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань
Вивчається фігура має п'ять граней, чотири з яких - це однакові рівнобедрені трикутники. Також вона характеризується п'ятьма вершинами, чотири з яких належать підстави, і вісьмома ребрами (4 ребра підстави і 4 ребра бічних граней).

Формула обсягу чотирикутної піраміди правильної

Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань
Обсяг даної фігури являє собою частину простору, яке обмежують п'ять сторін. Щоб обчислити цей обсяг скористаємося наступною залежністю площі паралельного основи піраміди зрізу S z від вертикальної координати z: S z = S o * (h - z/h) 2 Тут S o - площа квадратного підстави. Якщо записане вираз підставити z = h, то ми отримаємо нульовий значення для S z . Цій величині z відповідає зріз, який буде містити тільки вершину піраміди. Якщо ж z = 0 то ми отримуємо значення площі підстави S o .


Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань
Знайти об'єм піраміди нескладно, знаючи функцію S z (z), для цього достатньо розрізати фігуру на нескінченне число паралельних основи шарів, а потім провести операцію інтегрування. Іду цією методикою, отримуємо: V = ? 0 h (S z )*dz = -S 0 *(h-z) 3 /(3*h 2 )| 0 h = 1/3*S 0 *h. Оскільки S 0 - це площа квадратного підстави, то, позначивши сторону квадрата буквою a, отримуємо формулу обсягу правильної чотирикутної піраміди: V = 1/3*a 2 *h. Тепер покажемо на прикладах розв'язання задач, як слід застосовувати цей вислів.

Завдання на визначення обсягу піраміди через її апофему і бічне ребро

Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Формула і приклади завдань
Апофемой піраміди називають висоту її бічного трикутника, яка опущена на сторону основи. Оскільки всі трикутники рівні в правильній піраміді, то їх апофемы також будуть однаковими. Позначимо її довжину символом h b . Бічне ребро позначимо як b. Знаючи, що апофема піраміди дорівнює 12 см, а бічне ребро дорівнює 15 см, знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди. Записана в попередньому пункті формула для об'єму фігури містить два параметри: довжину сторони a і висоту h. На даний момент нам не відомий жоден з них, тому займемося їх обчисленнями. Довжину сторони квадрата a нескладно розрахувати, якщо скористатися теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, у якого є гіпотенузою ребро b, а катетами будуть апофема h b і половина сторони підстави a/2. Отримуємо:
b 2 = h b 2 + a 2 /4 => a = 2*?(b 2 - h b 2 ). Підставляючи відомі значення з умови, отримаємо величину a = 18 див. Щоб обчислити висоту h піраміди, можна зробити двома способами: розглянути прямокутний трикутник з гіпотенузою-бічним ребром або з гіпотенузою-апофемой. Обидва способи рівноправні і передбачають виконання одного і того ж кількості математичних операцій. Зупинимося на розгляді трикутника, де є гіпотенузою апофема h b . Катетами в ньому будуть h і a/2. Тоді отримуємо: h = ?(h b 2 -a 2 /4) = ?(12 2 - 18 2 /4) = 7937 див. Тепер можна скористатися формулою для об'єму V: V = 1/3*a 2 *h = 1/3*18 2 *7937 = 857196 см 3 . Таким чином, об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює приблизно 086 літра.

Об'єм піраміди Хеопса

Тепер вирішимо цікаву і практично важливе завдання: знайдемо, чому дорівнює обсяг самої великої піраміди в Гізі. З літературних даних відомо, що вихідна висота будівлі була дорівнює 1465 метра, а довжина його заснування становить 230363 метра. Ці цифри дозволяють застосувати формулу для обчислення V. Отримуємо: V = 1/3*a 2 *h =1/3*230363 2 *1465 ? 2591444 м 3 . Отримане значення становить майже 26 млн. м 3 . Цей обсяг відповідає об'єму куба, сторона якого дорівнює 1374 метра.