У далекому минулому, коли ще не була придумана система числення, люди підраховували все на пальцях. З появою арифметики та основ математики стало набагато простіше і практичніше вести облік товарів, продуктів, а також побутових предметів. Однак як виглядає сучасна система числення: на які види поділяються існуючі числа і що значить "раціональний вид чисел"? Давайте розберемося.

Скільки різновидів чисел існує в математиці?

Саме поняття "число" позначає якусь одиницю будь-якого предмета, яка характеризує його кількісні, порівняльні або порядкові показники. Для того щоб правильно підрахувати кількість певних речей або провести якісь математичні операції з числами (скласти, помножити та ін), в першу чергу слід ознайомитися з різновидами цих самих чисел.


Отже, існуючі числа можна поділити за такими категоріями:

Натуральні - це ті числа, якими ми підраховуємо кількість предметів (найменше натуральне число дорівнює 1 логічно, що ряд натуральних чисел нескінченний, тобто не існує найбільшого натурального числа). Безліч натуральних чисел прийнято позначати літерою N.

Цілі числа. До цього безлічі відносяться всі натуральні числа, при цьому в нього додаються і від'ємні значення, включаючи число "нуль". Позначення множини цілих чисел записують у вигляді латинської букви Z.

Раціональні числа - це ті, які ми подумки можемо перетворити на дріб, чисельник якої буде належати множині цілих чисел, а знаменник - натуральних. Трохи нижче ми розберемо детальніше, що означає "раціональне число", і наведемо кілька прикладів.

Дійсні числа - безліч, в яке входять всі раціональні та ірраціональні числа. Позначається дане безліч буквою R.

Комплексні числа містять у собі частину дійсного і частина змінного числа. Використовуються комплексні числа у вирішенні різних кубічних рівнянь, які, в свою чергу, можуть мати в формулах під знаком кореня негативне вираз (i 2 = -1).

Що значить "раціональний": розбираємо на прикладах

Якщо раціональними вважаються ті числа, які ми можемо представити у вигляді звичайного дробу, то виходить, що всі позитивні та негативні цілі числа також входять в безліч раціональних чисел. Адже будь-яке ціле число, наприклад 3 чи 15 можна представити у вигляді дробу, де в знаменнику буде одиниця.


Дробу: -9/3; 7/5 6/55 - ось приклади раціональних чисел.

Що значить "раціональне вираз"?

Йдемо далі. Ми вже розібрали, що означає раціональний вид чисел. Тепер уявімо собі математичне вираз, який складається з суми, різниці, добутку або частки різних чисел і змінних. Ось приклад: дріб, в чисельнику якої сума двох чи декількох цілих чисел, а знаменник містить у собі як ціле число, так і якусь змінну. Саме такий вираз і називають раціональним. Виходячи з правила "на нуль ділити не можна" можна здогадатися, що значення цієї змінної не може бути таким, щоб значення знаменника зверталося в нуль. Тому при вирішенні раціонального виразу слід спочатку визначити область значень змінної. Наприклад, якщо в знаменнику наступне вираз: x+5-2 то виходить, що "x" не може бути дорівнює -3. Адже в такому випадку всі вираз перетворюється в нуль, тому при вирішенні необхідно виключити ціле число -3 для даної змінної.

Як правильно розв'язувати раціональні рівняння?

Раціональні вирази можуть містити в собі досить-таки велика кількість чисел і навіть 2 змінні, тому часом їх рішення стає скрутним. Для полегшення вирішення такого виразу рекомендується зробити якісь операції раціональним шляхом. Отже, що значить "раціональним способом" і які правила необхідно застосовувати при вирішенні?

Перший вид, коли достатньо всього лише спростити вираз. Для цього можна вдатися до операції скорочення чисельника і знаменника до несокращаемой величини. Наприклад, якщо в чисельнику є вираз 18x, а в знаменнику 9х, то, скорочуючи обидва показника на 9x, отримуємо просто ціле число, рівне 2.

Другий спосіб практичний тоді, коли в чисельнику маємо одночленів, а в знаменнику - многочлен. Розберемо на прикладі: в чисельнику маємо 5x, а в знаменнику - 5x + 20x 2 . В такому випадку краще всього винести змінну в знаменнику за дужки, отримаємо наступний вигляд знаменника: 5x(1+4x). А тепер можна скористатися першим правилом і спростити вираз, скоротивши 5x в чисельнику і в знаменнику. В результаті отримаємо дріб виду 1/1+4x.

Які дії можна виконувати з раціональними числами?

Безліч раціональних чисел має ряд своїх особливостей. Багато з них досить схожі з характеристикою, присутньої у цілих і натуральних чисел, через те що останні завжди входять в безліч раціональних чисел. Ось кілька властивостей раціональних чисел, знаючи які, можна з легкістю вирішити будь-яке раціональне вираз.

Властивість комутативності дозволяє підсумовувати два або кілька чисел, незалежно від їх черговості. Простіше кажучи, від зміни місць доданків сума не змінюється.

Властивість дистрибутивності дозволяє вирішувати завдання з допомогою розподільного закону.

І, нарешті, операції додавання і віднімання.

Навіть школярі знають, що значить "раціональний вид чисел" і яким чином вирішувати завдання на основі таких виразів, тому дорослому освіченій людині просто необхідно згадати хоча б ази безлічі раціональних чисел.