У цій статті буде пояснена формула Блека-Шоулза простими словами. Модель Блека-Шоулза являє собою математичну модель динаміки фінансового ринку, що містить похідні інвестиційні інструменти. З рівняння з частинними похідними в моделі (відомої як рівняння Блека-Шоулза) можна вивести формулу Блека-Шоулза. Вона дає теоретичну оцінку ціни опціонів в європейському стилі і показує, що опціон має унікальну ціну незалежно від ризику цінного паперу та її очікуваний дохід (замість заміни очікуваної дохідності цінного паперу на нейтральний до ризику ставку). Формула призвела до буму в торгівлі опціонами і забезпечила математичну легітимність діяльності Чиказької біржі опціонів та інших опціонних ринків по всьому світу. Вона широко використовується, хоча часто з доповненнями та виправленнями, учасниками ринку опціонів. На картинках в цій статті ви можете побачити приклади формули Блека-Шоулза.

Історія і суть

Грунтуючись на роботах, раніше розроблених дослідниками і практиками ринку, такими як Луї Бачелье, Шин Кассуф і Ед Торп, Фішер Блек і Мирон Шоулз в кінці 1960-х років продемонстрували, що динамічний перегляд портфеля усуває очікуване повернення безпеки.

У 1970 році, після того, як вони спробували застосувати формулу до ринків і понесли фінансові втрати із-за відсутності управління ризиками в своїх професіях, вони вирішили зосередитися у своїй області, академічному середовищі. Після трирічних зусиль формула, названа на честь їх оприлюднення, була, нарешті, опублікована у 1973 року в статті під назвою «Ціноутворення опціонів і корпоративних зобов'язань», в Журналі політичної економії. Роберт С. Мертон був першим, хто опублікував статтю, яка розширює математичне розуміння моделі ціноутворення опціонів, і ввів термін «модель ціноутворення Блека – Шоулза». За свою роботу Мертон та Шоулз отримали Нобелівську меморіальну премію з економічних наук 1997 року, комітет, пославшись на те, що вони відкрили динамічний перегляд, не залежить від ризику, як прорив, який відокремлює варіант від ризику базової безпеки. Незважаючи на те, що він не отримав нагороду з-за своєї смерті в 1995 році, Шведський академік згадав Блека як учасника. На картинці нижче ви можете побачити типову формулу розрахунку Блека-Шоулза.

Опціони

Основна ідея цієї моделі полягає в хеджуванні опціону шляхом правильної покупки і продажу базового активу та, як наслідок, усунення ризику. Цей тип підстраховки називається «постійно оновлюваним дельта-хеджуванням». Він є основою більш складних стратегій, таких як ті, які використовуються інвестиційними банками і хедж-фондами.

Управління ризиками

Припущення моделі були пом'якшені і узагальнені у багатьох напрямках, що призвело до безлічі моделей, які в даний час використовуються в ціноутворенні похідних інструментів та управлінні ризиками. Саме розуміння моделі, як показано у формулі Блека-Шоулза, часто використовується учасниками ринку, на відміну від фактичних цін. Ці відомості включають в себе відсутність арбітражних кордонів і ціноутворення, не залежне від ризику (завдяки постійному перегляду). Крім того, рівняння Блека-Шоулза, рівняння в приватних похідних, яке визначає ціну опціону, дозволяє визначати ціни за допомогою чисельних методів, коли явна формула неможлива.

Волатильність

Формула Блека-Шоулза має тільки один параметр, який не можна безпосередньо спостерігати на ринку: середня майбутня волатильність базового активу, хоча її можна знайти за ціною інших опціонів. Оскільки значення параметра (будь то «поклав» або «виклик») збільшується в цьому параметрі, його можна інвертувати, щоб отримати «поверхню волатильності», яка потім використовується для калібрування інших моделей, наприклад, позабіржових деривативів.
З урахуванням цих припущень припустимо, що на цьому ринку також торгуються похідні цінні папери. Ми вказуємо, що ця цінний папір буде мати певну виплату на певну дату в майбутньому, в залежності від вартості, прийнятої акцією до цієї дати. Дивно, що ціна похідного інструменту повністю визначена в даний час, хоча ми не знаємо, яким шляхом піде ціна акцій у майбутньому. Для особливого випадку європейського опціону "колл" або "пут" Блек і Шоулз показали, що можливо створити хеджируемую позицію, що складається з довгої позиції в акції та короткої позиції в опціоні, значення якої не залежатиме від ціни акції. Їх стратегія динамічного хеджування привела до рівняння в приватних похідних, яка визначала ціну опціону. Його рішення дається формулою Блека-Шоулза.

Різниця доданків

Формулу Блека-Шоулза для excel можна інтерпретувати, спочатку розбивши опціон "колл" на різницю двох бінарних опціонів. Опціон "колл" обмінює грошові кошти на актив після закінчення строку, в той час як колл-актив з активом або без нього просто дає актив (без готівкових грошей в обмін), а "колл" з безготівковим розрахунком просто повертає гроші (без обміну активу). Формула Блека-Шоулза для опціону являє собою різницю двох доданків, і ці два доданки дорівнюють значенню опцій двійкового виклику. Ці бінарні опціони продаються набагато рідше, ніж ванільні опціони, але їх легше аналізувати.
На практиці деякі значення чутливості зазвичай наводяться у скороченому вираженні, щоб відповідати шкалі вірогідних змін параметрів. Наприклад, часто повідомляється про rho, деленном на 10000 (зміна на 1 базисний пункт), vega на 100 (зміна на 1 об'ємний пункт) і тета-на 365 або 252 (1-денний спад на основі або календарних днів, або торгових днів у році). Описана вище модель може бути розширена для змінних (але детермінованих) ставок та волатильності. Модель також може бути використана для оцінки європейських опціонів на інструменти виплати дивідендів. В цьому випадку доступні рішення в закритій формі, якщо дивіденд є певною пропорцією ціни акції. Американські опціони і опціони на акції, які виплачують відомий грошовий дивіденд (в короткостроковій перспективі, більш реалістичний, ніж пропорційний дивіденд), складніше оцінити, і доступний вибір методів рішення (наприклад, ґрат і сіток).

Наближення

Корисне наближення: хоча волатильність не постійна, результати моделі часто допомагають встановити хеджування в правильних пропорціях для мінімізації ризику. Навіть якщо результати не зовсім точні, вони служать першим наближенням, до якого можна вносити коректування.

Основа для більш досконалих моделей: модель Блека-Шоулза є надійним в тому розумінні, що її можна відрегулювати, щоб впоратися з деякими з її відмов. Замість того, щоб розглядати деякі параметри (такі як волатильність або процентні ставки) як постійні, ми розглядаємо їх як змінні і, таким чином, додаємо джерела ризику. Це відбивається на греків (зміна значення опції для зміни цих параметрів або еквівалентно приватним похідним за цим змінним), і хеджування цих греків знижує ризик, викликаний мінливою природою цих параметрів. Однак інші дефекти не можуть бути усунені шляхом зміни моделі, зокрема, хвостового ризику та ризику ліквідності, і замість цього вони управляються поза моделі, головним чином шляхом мінімізації цих ризиків та стрес-тестування.

Явне моделювання

Явне моделювання: ця функція означає, що замість того, щоб припускати волатильність апріорі і обчислювати ціни з неї, можна використовувати модель для визначення волатильності, яка дає припущену волатильність опціону за заданими цінами, термінами і цінами виконання. Вирішуючи волатильність протягом певного набору тривалості і цін страйку, можна побудувати поверхню волатильності. У цьому додатку моделі Блека-Шоулза отримано перетворення координат з області цін в область волатильності. Замість того щоб вказувати ціни опціонів в доларах за одиницю (які важко порівнювати з страйкам, длительностям і частоті купонів), ціни опціонів можуть бути вказані в термінах волатильності, що веде до торгівлі волатильністю на ринках опціонів.