З матрицями (таблицями з числовими елементами) можуть проводитися різні обчислювальні дії. Одні з них – множення на число, вектор, іншу матрицю, кілька матриць. Твір іноді виходить невірним. Помилковий результат – підсумок незнання правил виконання обчислювальних дій. Давайте розберемося, як слід здійснювати множення.

Матриця і число

Почнемо з самого простого – з таблиці множення з числами на конкретну величину. Наприклад, ми маємо матрицю A з елементами a ij (i – це номер рядка, а j – це номери стовпців) і число e. Твором матриці на число e буде матриця B з елементами b ij , які знаходяться за формулою: b ij = e x a ij . Тобто для отримання елемента b 11 потрібно взяти елемент a 11 і помножити його на потрібне число, для отримання b 12 потрібно знайти добуток елемента a 12 і числа e і т. д. Вирішимо завдання № 1 представлену на малюнку. Для отримання матриці B просто помножимо елементи з A на 3:

a 11 x 3 = 18. Це значення записуємо в матрицю B в те місце, де перетинаються стовпець № 1 і рядок № 1.

a 21 x 3 = 15. Ми отримали елемент b 21 .

a 12 x 3 = -6. Ми отримали елемент b 12 . Записуємо його в матрицю B в місце, де перетинаються стовпець № 2 та рядок № 1.

a 22 x 3 = 9. Даний результат – це елемент b 22 .

a 13 x 3 = 12. Дане число вносимо в матрицю на місце елемента b 13 .

a 23 x 3 = -3. Останнє отримане число – це елемент b 23 .

Таким чином, ми отримали прямокутний масив з числовими елементами.



18



-6



12



15



9



-3

Вектори і умова існування твору матриць

В математичних дисциплінах існує таке поняття, як «вектор». Під цим терміном розуміється упорядкований набір величин від a 1 до a n . Вони називаються координатами векторного простору і записуються у вигляді стовпця. Ще є термін «транспонований вектор». Його компоненти розташовуються у вигляді рядка. Вектори можна називати матрицями:

вектор-стовпець – це матриця, побудована з одного стовпця;

вектор-рядок – це матриця, яка включає в себе лише один рядок.

При виконанні операцій над матрицями множення важливо пам'ятати про те, що є умова існування твору. Обчислювальне дію A x B може бути виконано тільки тоді, коли число стовпців в таблиці A дорівнює числу рядків у таблиці B. Підсумкова матриця, отримана в результаті обчислення, завжди має число рядків таблиці A і число стовпців таблиці B. При множенні не рекомендується переставляти місцями матриці (множники). Їх твір зазвичай не відповідає коммутативному (переместительному) закону множення, тобто результат операції A x B не дорівнює результату операції B x A. Така особливість іменується некоммутативностью твори матриць. У деяких випадках результат множення A x B дорівнює результату множення B x A, тобто твір коммутативно. Матриці, при яких рівність A x B = B x A виконується, називаються перестановочными. З прикладами таких таблиць можна ознайомитися нижче.

Множення на вектор-стовпець

При виконанні множення матриці на вектор-стовпець обов'язково враховуємо умова існування твору. Число стовпців (n) в таблиці має збігатися з кількістю координат, з яких складено вектор. Результат обчислення – перетворений вектор. Його кількість координат дорівнює числу рядків (m) з таблиці. Як обчислюються координати вектора y, якщо є матриця A і вектор x? Для розрахунків створені формули: y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n , y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n , , y m = a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n , де x 1 , , x n – координати x-вектора, m – число рядків в матриці і кількість координат в новому y-вектор, n – число стовпців в матриці і кількість координат в x-вектор, a 11 , a 12 , , a mn – елементи матриці A. Таким чином, для отримання i-ї компоненти нового вектора виконується скалярний добуток. З матриці A береться i-вектор-рядок, і вона множиться на наявний вектор x. Вирішимо завдання № 2. Добуток матриці на вектор знайти можна, адже A має 3 стовпця, і x складається з 3 координат. У результаті ми повинні отримати вектор-стовпець 4 координатами. Скористаємося вищевказаними формулами:

Обчислимо y 1 . 1 x 4 + (-1) x 2 + 0 x (-4). Підсумкове значення дорівнює 2.

Обчислимо y 2 . 0 x 4 + 2 x 2 + 1 x (-4). При розрахунку отримаємо 0.

Обчислимо y 3 . 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x (-4). Сума добутків зазначених множників дорівнює 6.

Обчислимо y 4 . (-1) x 4 + 0 x 2 + 1 x (-4). Координата дорівнює -8.

Множення вектор-рядки матриці

Не можна помножити матрицю, що складається з декількох стовпців, на вектор-рядок. В таких випадках не виконується умова існування твору. А ось множення вектор-рядки матриці можливо. Ця обчислювальна операція виконується при збігу кількості координат у векторі і кількості рядків у таблиці. Результат добутку вектора на матрицю – нова вектор-рядок. Її кількість координат повинно дорівнювати числу стовпців в матриці. Обчислення першої координати нового вектора передбачає множення вектор-рядка і першого вектор-стовпчика з таблиці. Аналогічним способом здійснюється розрахунок другої координати, але замість першого вектор-стовпця береться вже другий вектор-стовпець. Ось загальна формула для обчислення координат: y k = a 1 k x 1 + a 2 k x 2 + + a mk x m , де y k – координата з y-вектора, (k знаходиться в проміжку від 1 до n), m – число рядків в матриці і кількість координат в x-вектор, n – число стовпців в матриці і кількість координат в y-вектор, a з буквено-цифровими індексами – елементи матриці A.

Твір прямокутних матриць

Це обчислювальне дія може здатися складним. Однак множення легко виконується. Почнемо з визначення. Добуток матриці A з m рядків та n стовпців матриці B з n рядками і p стовпцями – це матриця C з m рядків та p стовпцями, в якій елемент c ij являє собою суму добутків елементів i-го рядка з таблиці A і j-го стовпчика з таблиці B. Якщо говорити простою мовою, то елемент c ij – це скалярний добуток i-й вектор-рядки з таблиці A і j-го вектор-стовпчика з таблиці B.
Тепер розберемося на практиці в тому, як знаходити добуток матриць прямокутного вигляду. Вирішимо для цього завдання № 3. Умова існування твору виконується. Приступимо до розрахунку елементів c ij :

Матриця C буде складатися з 2 рядків і 3 стовпців.

Розрахуємо елемент c 11 . Для цього виконаємо скалярний добуток рядка № 1 з матриці A і стовпця № 1 з матриці B. c 11 = 0 x 7 + 5 x 3 + 1 x 1 = 16. Далі поступаємо аналогічно, змінюючи тільки рядки, стовпці (в залежності від індексу елемента).

c 12 = 12.

c 1 3 = 9.

c 21 = 31.

c 22 = 18.

c 2 3 = 36.

Елементи розраховані. Тепер залишилося лише скласти прямокутний блок з отриманих чисел.

16



12



9



31



18



36

Множення трьох матриць: теоретична частина

Можна знайти добуток трьох матриць? Ця обчислювальна операція здійсненна. Результат можна отримати декількома способами. Наприклад, є 3 квадратних таблиці (одного порядку) – A, B і C. Щоб обчислити твір, можна:

Помножити спочатку A і B. Результат помножити на C.

Знайти спочатку твір B і C. Далі матрицю A помножити на отриманий результат.

Якщо потрібно перемножити матриці прямокутного вигляду, то спочатку потрібно упевнитися в тому, що дана обчислювальна операція можлива. Повинні існувати твори A x B і B x C.

Поетапне множення не є помилкою. Є таке поняття, як «асоціативність множення матриць». Під цим терміном розуміється рівність (A x B) x C = A x B x C).

Множення трьох матриць: практика

Квадратні матриці Почнемо з множення невеликих квадратних матриць. Нижче на малюнку представлена задача № 4 яку нам належить вирішити. Будемо користуватися властивість асоціативності. Перемножимо спершу яких A і B, або B і C. Пам'ятаємо тільки одне: не можна переставляти місцями множники, тобто не можна множити B x A або C x B. При такому збільшенні ми отримаємо помилковий результат. Хід рішення. Крок перший. Для знаходження загального твори помножимо спочатку A B. При множенні двох матриць будемо керуватися тими правилами, які були викладені вище. Отже, результатом множення A і B буде матриця D з 2 рядками і 2 стовпцями, тобто прямокутний масив буде включати в себе 4 елементи. Знайдемо їх, виконавши розрахунок:

d 11 = 0 x 1 + 5 x 6 = 30;

d 12 = 0 x 4 + 5 x 2 = 10;

d 21 = 3 x 1 + 2 x 6 = 15;

d 22 = 3 x 4 + 2 x 2 = 16.

Проміжний результат готовий.


30



10



15



16

Крок другий. Тепер помножимо матрицю D на матрицю C. Результатом повинна бути квадратна матриця G з 2 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи:

g 11 = 30 x 8 + 10 x 1 = 250;

g 12 = 30 x 5 + 10 x 3 = 180;

g 21 = 15 x 8 + 16 x 1 = 136;

g 22 = 15 x 5 + 16 x 3 = 123.

Таким чином, результатом добутку квадратних матриць є таблиця G з обчисленими елементами.

250



180



136



123

Прямокутні матриці Нижче на малюнку представлена завдання № 5. Потрібно перемножити прямокутні матриці та знайти рішення. Перевіримо, чи виконується умова існування творів A x B і B x C. Порядки зазначених матриць дозволяють нам виконувати множення. Приступимо до вирішення завдання. Хід рішення. Крок перший. Помножимо B C для отримання D. Матриця B містить 3 рядки і 4 стовпців, а матриця C – 4 рядки і 2 стовпця. Це означає, що матриця D у нас вийде з 3 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи. Ось 2 приклади обчислень:

d 11 = 3 x 0 + 0 x 0 + 1 x 0 + 0 x 1 = 0;

d 1 2 = 3 x 2 + 0 x 3 + 1 x 1 + 0 x 6 = 7.

Продовжуємо вирішувати завдання. В результаті подальших обчислень ми знаходимо значення d 2 1 , d 2 2 , d 31 і d 32 . Ці елементи дорівнюють 0191 і 11 відповідно. Запишемо знайдені значення в прямокутний масив.

0



7



0



19



1



11

Крок другий. Помножимо A D, щоб отримати підсумкову матрицю F. В ній буде 2 рядки та 2 стовпця. Розрахуємо елементи:

f 11 = 2 x 0 + 6 x 0 + 1 x 1 = 1;

f 12 = 2 x 7 + 6 x 19 + 1 x 11 = 139;

f 21 = 0 x 0 + 1 x 0 + 3 x 1 = 3;

f 22 = 0 x 7 + 1 x 19 + 3 x 11 = 52.

Складемо прямокутний масив, який є кінцевим результатом множення трьох матриць.

1



139



3



52

Знайомство з прямим твором

Досить складним для розуміння матеріалом є кронекеровское добуток матриць. У нього є ще додаткову назву – пряме твір. Що ж розуміється під цим терміном? Припустимо, у нас є таблиця A порядку m x n і B таблиця порядку p x q. Прямим добутком матриці A на матрицю B є матриця порядку mp x nq. У нас є 2 квадратні матриці A, B, які представлені на картинці. Перша з них складається з 2 колонок і 2 рядків, а друга – з 3 стовпців і 3 рядків. Ми бачимо, що матриця, отримана в результаті прямого твори, складається з 6 рядків і точно такої ж кількості стовпців. Як при прямому творі обчислюють елементи нової матриці? Знайти відповідь на це питання дуже легко, якщо проаналізувати малюнок. Спочатку заповнюють рядок. Беруть перший елемент з верхнього рядка таблиці A і послідовно множать на елементи першого рядка таблиці B. Далі беруть другий елемент першого рядка таблиці A і послідовно множать на елементи першого рядка таблиці B. Для заповнення другого рядка знову беруть перший елемент першого рядка таблиці A і множать його на елементи другого рядка таблиці B. Підсумкову матрицю, одержувану прямим твором, називають блоковою. Якщо знову проаналізувати малюнок, то можна помітити, що наш результат складається з 4 блоків. Всі вони включають елементи матриці B. Додатково елемент кожного блоку помножена на конкретний елемент матриці A. В першому блоці всі елементи помножені на a 11 , у другому – на a 12 , в третьому – на a 21 , у четвертому – на a 22 .

Визначник твори

При розгляді теми, що стосується множення матриць, варто розглянути ще такий термін, як «визначник добутку матриць». Що таке визначник? Це важлива характеристика квадратної матриці, певне значення, що ставиться у відповідність цій матриці. Літерне позначення визначника – det. Для матриці A, що складається з двох стовпців і двох рядків, визначник легко знайти. Існує невелика формула, яка представляє собою різницю творів конкретних елементів: det A = a 11 x a 22 – a 12 x a 21 . Розглянемо приклад обчислення визначника для таблиці другого порядку. Існує матриця A, в якій a 11 = 2 a 12 = 3 a 21 = 5 і a 22 = 1. Для обчислення визначника скористаємося формулою: det A = 2 x 1 – 3 x 5 = 2 – 15 = -13. У матриць 3 x 3 визначник обчислюється по більш складною формулою. Вона представлена нижче для матриці A: det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 . Для запам'ятовування формули придумали правило трикутника, яке показано на картинці. Спочатку множаться елементи головної діагоналі. До отриманого значення додаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з червоними сторонами. Далі віднімається добуток елементів побічної діагоналі і віднімаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з синіми сторонами. Тепер поговоримо про визначнику твори матриць. Існує теорема, яка свідчить, що даний показник дорівнює добутку визначників таблиць-співмножників. Переконаємося в цьому на прикладі. У нас є матриця A з елементами a 11 = 2 a 12 = 3 a 21 = 1 і a 22 = 1 і матриця B з елементами b 11 = 4 b 12 = 5 b 21 = 1 і b 22 = 2. Знайдемо визначники матриць A і B, твір A x B і визначник цього твору. Хід рішення. Крок перший. Обчислимо визначник для A: det A = 2 x 1 – 3 x 1 = -1. Далі обчислимо визначник для B: det B = 4 x 2 – 5 x 1 = 3. Крок другий. Знайдемо добуток A x B Нову матрицю позначимо літерою C. Обчислимо її елементи:

c 11 = 2 x 4 + 3 x 1 = 11;

c 1 2 = 2 x 5 + 3 x 2 = 16;

c 2 1 = 1 x 4 + 1 x 1 = 5;

c 22 = 1 x 5 + 1 x 2 = 7.

Крок третій. Обчислимо визначник для C: det C = 11 x 7 – 16 x 5 = -3. Порівняємо зі значенням, яке могло б вийти при множенні визначників вихідних матриць. Числа однакові. Дана теорема вірна.

Ранг твору

Ранг матриці – це характеристика, що відбиває максимальну кількість лінійно незалежних рядків або стовпців. Для обчислення рангу виконують елементарні перетворення матриці:

переставлення місцями двох паралельно лежачих рядів;

множення всіх елементів певного ряду з таблиці на число, не равняющееся нулю;

додаток до елементів одного ряду елементів з іншого ряду, помножених на конкретне число.

Після елементарних перетворень дивляться на кількість ненульових рядків. Їх число – це і є ранг матриці. Розглянемо попередній приклад. У ньому було представлено 2 матриці: A з елементами a 11 = 2 a 12 = 3 a 21 = 1 і a 22 = 1 і B з елементами b 11 = 4 b 12 = 5 b 21 = 1 і b 22 = 2. Також будемо використовувати матрицю C, отриману в результаті множення. Якщо ми виконаємо елементарні перетворення, то у спрощених матрицях нульових рядків не буде. Це означає, що і ранг таблиці A, і ранг таблиці B, і ранг таблиці C дорівнює 2. Тепер особливу увагу приділимо рангом твори матриць. Існує теорема, яка свідчить, що ранг твору таблиць, що містять числові елементи, що не перевищує рангу будь-якого з співмножників. Це можна довести. Нехай A – це матриця розміру k x s, а B – це матриця розміру s x m. Твір A і B дорівнює C. Вивчимо малюнок, представлений вище. На ньому зображений перший стовпець матриці C та його спрощена запис. Цей стовпець – лінійна комбінація стовпців, що входять у матрицю A. Аналогічним чином можна сказати про будь-якому іншому стовпці з прямокутного масиву C. Таким чином, підпростір, утвореного векторами-стовпцями таблиці C, мається на подпространстве, утвореному векторами-стовпцями таблиці A. З цієї причини розмірність підпростору № 1 не перевершує розмірності підпростору № 2. Звідси випливає висновок, що ранг за стовпцями таблиці C не перевищує рангу за стовпцями таблиці A, тобто r(C) <= r(A). Якщо міркувати аналогічним чином, то можна переконатися в тому, що рядки матриці C – лінійні комбінації рядків матриці B. З цього випливає нерівність r(C) <= r(B). Як знаходити добуток матриць – досить складна тема. Її можна легко освоїти, але для досягнення такого результату доведеться приділити чимало часу вивченню всіх існуючих правил і теорем.