Як спрощувати логічні вирази: функції, закони та приклади

Рубрика: Середня освіта

Сьогодні ми разом навчимося спрощувати логічні вирази, познайомимося з основними законами і вивчимо таблиці істинності функцій логіки.

Почнемо з того, навіщо потрібен цей предмет. Ви ніколи не помічали, як розмовляєте? Зверніть увагу на те, що наша мова і дії завжди підкоряються законам логіки. Для того щоб знати результат якої-небудь події і не потрапити в халепу, вивчіть прості і зрозумілі закони логіки. Вони допоможуть вам не тільки отримати гарну оцінку з інформатики або набрати більше балів на єдиному державному іспиті, але і діяти в життєвих ситуаціях не навмання.

Операції

Для того щоб навчитися спрощувати логічні вирази, необхідно знати:

які функції є в булевої алгебри;

закони скорочення і перетворення виразів;

порядок виконання операцій.

Зараз ми розглянемо ці питання дуже докладно. Почнемо з операцій. Їх досить легко запам'ятати.

Першим ділом ми відзначимо логічне множення, у літературі його називають операцією кон'юнкції. Якщо умова записано у вигляді виразу, то операція позначається перевернутої галочкою, знаком множення або «&».

Наступна найбільш часто зустрічається функція – логічне додавання або диз'юнкція. Її відзначають галочкою або знаком плюс.

Дуже важлива функція заперечення або інверсії. Згадайте, як у російській мові ви виділяли приставку. Графічно інверсія позначається знаком приставки перед виразом або горизонтальною лінією над ним.

Логічний наслідок (чи імплікація) позначається стрілкою від значення до слідства. Якщо розглядати операцію з точки зору російської мови, то вона відповідає таким видом побудови речення: «якщо, то».

Далі йде еквіваленція, яка позначається двосторонньою стрілкою. У російській мові операція має вигляд: «тоді».

Штрих Шеффера розділяє два вирази вертикальною рискою.

Стрілка Пірса, аналогічно штрихові Шеффера, поділяє вираження вертикальною стрілкою, спрямованою вниз.

Обов'язково запам'ятайте те, що операції необхідно виконувати в суворій послідовності: заперечення, множення, додавання, слідство, еквівалентність. Для операцій «штрих Шеффера» і «стрілка Пірса» немає правила черговості. Отже, їх потрібно виконувати в тій послідовності, в якій вони стоять у складному вираженні.

Таблиці істинності

Спростити логічний вираз і побудувати таблицю істинності для подальшого його вирішення неможливо без знання таблиць основних операцій. Зараз ми пропонуємо, щоб з ними познайомитися. Зверніть увагу на те, що значення можуть приймати або істинне, або хибне значення. Для кон'юнкції таблиця виглядає наступним чином:

Вираз №1

Вираз №2

Підсумок

Брехня

Брехня

Брехня

Брехня

Істина

Брехня

Істина

Брехня

Брехня

Істина

Істина

Істина

Таблиця для операції диз'юнкція:

Вираз №1

Вираз №2

Підсумок

-

-

-

-

+

+

+

-

+

+

+

+

Заперечення:

Вхідна значення

Підсумок

Справжнє вираження

-

Помилкове висловлення

+

Наслідок:

Вираз №1

Вираз №2

Підсумок

-

-

Істина

-

+

Істина

+

-

Брехня

+

+

Істина

Рівнозначність:

Вираз №1

Вираз №2

Підсумок

Помилкове

Помилкове

+

Помилкове

Справжнє

-

Справжнє

Помилкове

-

Справжнє

Справжнє

+

Штрих Шиффера:

Вираз №1

Вираз №2

Підсумок

0

0

Істина

0

1

Істина

1

0

Істина

1

1

Брехня

Стрілка Пірса:

Вираз №1

Вираз №2

Підсумок

-

-

+

-

+

-

+

-

-

+

+

-

Закони спрощення

На питання про те, як спрощувати логічні вирази в інформатиці, нам допоможуть знайти відповіді прості і зрозумілі закони логіки.

Почнемо з самого простого закону суперечності. Якщо ми множимо протилежні поняття (А і неА), то отримуємо брехня. У разі складання протилежних понять, ми отримуємо істину, цей закон має назву «закон виключеного третього». Часто в булевої алгебри зустрічаються вирази з подвійним запереченням (не неА), в такому разі ми отримуємо відповідь А. Також є два закони де Моргана:

якщо у нас є заперечення логічного додавання, то ми отримуємо множення двох виразів з інверсією (не(А+В)=неА*неВ);

аналогічно діє і другий закон, їли ми маємо заперечення операції множення, то отримуємо додавання двох значень з інверсією.

Дуже часто зустрічається дублювання, одне і те ж значення (А або В) складається або множиться між собою. У такому випадку діє закон повторення (А*А=А або В+В=В). Мають місце і закони поглинання:

А+(А*В)=А;

А*(А+В)=А;

А*(неА+В)=А*В.

Є два закони склеювання:

(А*В)+(А*В)=А;

(А+В)*(А+В)=А.

Спрощувати логічні вирази нескладно, якщо знати закони булевої алгебри. Всі перераховані в цьому розділі статті закони можна перевірити дослідним шляхом. Для цього варто відкрити дужки за законами математики.

Приклад 1

Ми вивчили всі особливості спрощення логічних виразів, тепер необхідно закріпити свої нові знання на практиці. Ми пропонуємо вам розібрати разом три приклади зі шкільної програми і квитків єдиного державного іспиту.

У першому прикладі нам потрібно спростити вираз: (С*Е)+(З неї). Насамперед ми звертаємо свою увагу на те, що і в першій, і в другій дужці є одна і та ж змінна, пропонуємо вам винести її за дужки. Після виконаної маніпуляції ми отримуємо вираз: С*(Е+неї). Раніше ми розглянули закон виключення третього, застосуємо його щодо цього виразу. Слідуючи йому, ми можемо стверджувати, що Е+неї=1 отже, наше вираз приймає вигляд:*1. Отриманий вираз ми можемо ще спростити, знаючи, що З*1=С.

Приклад 2

Наступне наше завдання буде звучати так: чому буде дорівнювати спрощене логічне вираження не(С+неї)+(С+Е)+С*Е? Зверніть увагу, в даному прикладі є заперечення складних виразів, від цього варто позбуватися, керуючись законами де Моргана. Застосувавши їх, ми одержимо вираз: ніс*Е+ніс*неї+С*Тобто Ми знову спостерігаємо повторення змінної в двох доданків, виносимо за дужки: ніс*(Е+неї)+С*Е. Знову застосовуємо закон виключення: ніс*1+С*Е. Згадуємо вислів «ніс*1» дорівнює ніс: ніс+С*Е. Далі пропонуємо застосувати розподільний закон: (ніс+С)*(ніс+Е). Застосовуємо закон виключення третього: ніс+Е.

Приклад 3

Ви переконалися в тому, що на насправді дуже просто спростити логічний вираз. Приклад №3 буде розписаний менш докладно, постарайтеся зробити його самостійно. Спростіть вираз: (D+Е)*(D+F).

D*D+D*F+E*D+E*F;

D+D*F+E*D+E*F;

D*(1+F)+ E*D+E*F;

D+ E*D+E*F;

D*(1+E)+E*F;

D+E*F.

Як бачите, якщо знати закони спрощення складних логічних виразів, то дане завдання ніколи не викличе у вас труднощів.