У сучасному суспільстві вміння здійснювати дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати в нагоді в багатьох областях діяльності і широко застосовується на практиці в наукових і технічних розробках. Свідченням тому може служити конструювання морських і річкових суден, літаків та ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення різних тіл, в тому числі і космічних об'єктів. Приклади з рішенням квадратних рівнянь знаходять застосування не тільки в економічному прогнозуванні, при проектуванні і будівництві будівель, але і в самих звичайних життєвих обставин. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах при здійсненні покупок та в інших вельми поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вираз. У разі, якщо вона дорівнює 2 то подібне рівняння якраз і називається квадратним. Якщо висловлюватися мовою формул, то зазначені вирази, як би вони не виглядали, завжди можна привести до виду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена в квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині дорівнює 0. У разі, коли у такого многочлена відсутня одна з його складових частин, за винятком ax 2 воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з вирішенням таких завдань, значення змінних в яких знайти нескладно, слід розглянути в першу чергу.


Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у вирази у правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати х винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння буде виглядати так: x(ax+b). Далі стає очевидно, що х=0 або задача зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax+b=0. Зазначене продиктоване одним із властивостей множення. Правило говорить, що добуток двох множників дорівнює 0 лише якщо один з них дорівнює нулю.

Приклад

8x 2 - 3x = 0 x(8x – 3) = 0 Далі діємо згідно тільки що описаному правилом. x=0 або 8х – 3 = 0 В результаті отримуємо два кореня рівняння: 0 і 0375. Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжіння, що почали рух з певної точки, прийнятої за початок координат. Тут математична запис приймає наступну форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частина 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інші величини. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання і в більш складних випадках. Розглянемо приклади з рішенням квадратних рівнянь такого типу. X 2 – 33x + 200 = 0 Цей квадратний тричлен є повним. Для початку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) = 0. В результаті маємо два кореня 8 і 25. Приклади з рішенням квадратних рівнянь в 9 класі дозволяють даним методом знаходити змінну у виразах не тільки другого, але навіть третього і четвертого порядків. Наприклад: 2x 3 + 2x 2 – 18x – 18 = 0. При розкладанні правої частини на множники із змінною, їх виходить три, тобто (x+1),(x-3) (x+3). В результаті стає очевидно, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Витяг квадратного кореня

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, на мові букв представлене таким чином, що права частина будується з складових ax 2 і c. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься в праву сторону, а після цього з обох частин рівності вилучається квадратний корінь. Слід звернути увагу, що і в даному випадку коренів рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть служити лише рівності, взагалі не містять доданок з, де змінна дорівнює нулю, а також варіанти виразів, коли права частина виявляється негативною. В останньому випадку рішень взагалі не існує, так як зазначені вище дії неможливо виробляти з корінням. Приклади рішень квадратних рівнянь такого типу необхідно розглянути.
3x 2 - 48 = 0 3x 2 = 48 В даному випадку коренями рівняння виявляться числа 4 і 4.

Обчислення площі земельної ділянки

Потреба в подібного роду обчисленнях з'явилася в глибокій старовині, адже розвиток математики в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок. Приклади з рішенням квадратних рівнянь, складених на основі завдань такого роду, слід розглянути і нам. Отже, припустимо є прямокутний ділянку землі, довжина якого на 16 метрів більше, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину і периметр ділянки, якщо відомо, що його площа дорівнює 612 м 2 . Приступаючи до справи, спочатку складемо необхідне рівняння. Позначимо через х ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х+16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х(х+16), що, згідно з умовою нашої задачі, складає 612. Це означає, що х(х+16) = 612.
Рішення повних квадратних рівнянь, а цей вираз є саме таким, не може здійснюватися тим самим способом. Чому? Хоча ліва частина його, як і раніше містить два множника, твір їх зовсім не дорівнює 0 тому тут застосовуються інші методи.

Дискриминант

Передусім зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній вигляд даного виразу буде виглядати таким чином: x 2 + 16x – 612 = 0. Це значить, ми отримали вираз у формі, що відповідає вказаним раніше стандарту, де a=1 b=16 c=-612. Це може стати прикладом розв'язання квадратних рівнянь через дискриминант. Тут необхідні розрахунки здійснюються за схемою: D = b 2 – 4ac. Ця допоміжна величина не просто дає можливість знайти шукані величини в рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. У разі, якщо D>0 їх два; при D=0 існує один корінь. У разі, якщо D <0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Про коріння і їх формулою

В нашому випадку дорівнює дискриминант: 256 – 4(-612) = 2704. Це говорить про те, що відповідь у нашій задачі існує. Якщо знати, до прикладу, дискриминант, рішення квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити корені. Це означає, що у наведеному випадку: x 1 =18 x 2 =-34. Другий варіант у цій дилемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, значить х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18+16=34 і периметр 2(34+18)=104(м 2 ).

Приклади і задачі

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади і докладний рішення кількох з них будуть наведені далі. 1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1 Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вигляд рівняння, який прийнято іменувати стандартним, і приравняем його нуля. 15x 2 + 20x + 5 – 12x 2 – 27x – 1 = 0 Склавши подібні, визначимо дискриминант: D = 49 – 48 = 1. Значить у нашого рівняння буде два кореня. Обчислимо їх згідно з наведеною вище формулою, а це означає, що перший з них буде дорівнює 4/3 а другий 1. 2) Тепер розкриємо загадки іншого роду. З'ясуємо, чи є взагалі тут коріння x 2 – 4x + 5 = 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду і обчислимо дискриминант. У зазначеному прикладі рішення квадратного рівняння проводити не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. В даному випадку D = 16 – 20 = -4 а значить, коренів дійсно немає.

Теорема Вієта

Квадратні рівняння зручно вирішувати через зазначені вище формули і дискриминант, коли значення останнього вилучається квадратний корінь. Але це буває не завжди. Однак способів для отримання значень змінних у цьому випадку існує безліч. Приклад: рішення квадратних рівнянь за теорема Вієта. Вона названа на честь Франсуа Вієта, який жив в XVI столітті у Франції і зробив блискучу кар'єру завдяки своїм математичного таланту і зв'язків при дворі. Портрет його можна побачити в статті. Закономірність, яку помітив прославлений француз, полягала в наступному. Він довів, що корені рівняння в сумі чисельно рівні -p=b/a, а їх добуток відповідає q=c/a. Тепер розглянемо конкретні завдання. 3x 2 + 21x – 54 = 0 Для простоти перетворимо вираз: x 2 + 7x – 18 = 0 Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам наступне: сума коренів дорівнює -7 а їх добуток -18. Звідси отримаємо, що коренями рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці значення змінних дійсно підходять вираз.

Графік і рівняння параболи

Поняття квадратична функція та квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади подібного вже були наведені раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна представити наочно. Подібна залежність, намальована у вигляді графіка, називається параболою. Різні її види представлені на малюнку нижче. Будь-парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. У разі якщо a>0 вони йдуть високо в нескінченність, а коли a <0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В даному випадку в рівнянні x 2 =0 невідоме може приймати тільки одне значення, тобто х=0 а значить існує тільки один корінь. Це не дивно, адже тут D=0 тому що a=1 b=0 c=0. Виходить формула коренів (точніше одного кореня) квадратного рівняння запишеться так: x = -b/2a. Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь рівняння, в тому числі і квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис в точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися по тільки що приведеній формулі x 0 = -b/2a. І, підставивши отримане значення у початкове рівняння функції, можна дізнатися y 0 , тобто другу координату вершини параболи, яка належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів з рішенням квадратних рівнянь дуже багато, але існують і загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a>0 можливо тільки якщо у 0 приймає негативні значення. А для a 0. В іншому випадку D <0. А когда D=0, вершина параболи расположена непосредственно на оси 0х. За графіком параболи можна визначити і коріння. Вірно також зворотне. Тобто якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину з віссю 0x, легше побудувати графік.

З історії

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, в старовину не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення древнім були потрібні для грандіозних відкриттів в області фізики і астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів. Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших рішенням квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилона. Сталося це за чотири століття до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примитивней. Приміром, месопотамские математики поняття не мали про існування від'ємних чисел. Незнайомі їм були також інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності. Можливо, ще раніше вчених Вавилона рішенням квадратних рівнянь зайнявся мудрець з Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Правда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він привів, були самими наипростейшими. Крім нього, подібними питаннями цікавилися в старовину і китайські математики. В Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, але пізніше їх використовували у своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.