Лінійна алгебра, яка викладається у вузах на різних спеціальностях, об'єднує чимало складних тем. Одні з них пов'язані з матрицями, а також з рішенням систем лінійних рівнянь методами Гаусса і Гаусса – Жордана. Не всім студентам вдається зрозуміти ці теми, алгоритми розв'язання різних завдань. Давайте разом розберемося в матрицях і методи Гаусса і Гаусса – Жордана.

Основні поняття

Під матрицею в лінійній алгебрі розуміється прямокутний масив елементів (таблиця). Нижче представлені набори елементів, укладені в круглі дужки. Це і є матриці. З наведеного прикладу видно, що елементами в прямокутних масивах є не тільки числа. Матриця може складатися з математичних функцій, алгебраїчних символів.


Для того щоб розібратися з деякими поняттями, складемо матрицю A з елементів a ij . Індекси є не просто літерами: i – номер рядка в таблиці, а j – номер стовпця, в області перетину яких розташований елемент a ij . Отже, ми бачимо, що у нас вийшла матриця з таких елементів, як a 11 , a 21 , a 12 , a 22 і т. д. Буквою n ми позначили число стовпців, а буквою m – число рядків. Символ m x n означає розмірність матриці. Це те поняття, яке визначає кількість рядків і стовпців в прямокутному масиві елементів. Необов'язково в матриці повинно бути декілька стовпців і рядків. При розмірності 1 x n масив елементів є однострочным, а при розмірності m x 1 – одностолбцовым. При рівності числа числа рядків і стовпців матрицю називають квадратною. У кожної квадратної матриці є визначник (det A). Під цим терміном розуміється число, яке ставиться у відповідність матриці A.


Ще кілька важливих понять, які потрібно запам'ятати для успішного вирішення матриць, – це головна і побічна діагоналі. Під головною діагоналлю матриці розуміється та діагональ, яка іде вниз у правий кут таблиці з лівого кута зверху. Побічна діагональ йде в правий кут вгору з лівого кута знизу.

Ступінчастий вигляд матриці

Погляньте на картинку, яка представлена нижче. На ній ви побачите матрицю і схему. Розберемося спочатку з матрицею. У лінійній алгебрі матриця такого виду називається ступінчастою. Їй притаманне одна властивість: якщо a ij є у i-й рядку першим ненульовим елементом, то всі інші елементи матриці, що стоять нижче і лівіше a ij є нульовими (тобто всі ті елементи, яким можна дати літерне позначення a kl , де k>i, l Тепер розглянемо схему. Вона відображає східчасту форму матриці. У схемі представлено 3 види клітин. Кожен вид позначає певні елементи:

порожні клітини – нульові елементи матриці;

заштриховані клітини – довільні елементи, які можуть бути нульовими, так і ненульовими;

чорні квадратики – ненульові елементи, які називаються кутовими елементами, «сходинками» (у поданій поруч матриці такими елементами є цифри -153 8).

При рішення матриць іноді виходить такий результат, коли «довжина» сходинки виявляється більше 1. Таке допускається. Важлива лише «висота» сходинок. У матриці ступінчастого вигляду цей параметр повинен бути завжди рівним одиниці.

Приведення матриці до ступеневою

Будь-яка прямокутна матриця може бути перетворена до ступінчастого вигляду. Робиться це завдяки елементарним перетворенням. Вони включають в себе:

перестановку рядків місцями;

додаток до однієї рядку іншого рядка, при необхідності помноженої на яке-небудь число (можна також робити операцію віднімання).

Розглянемо елементарні перетворення у вирішенні конкретної завдання. На малюнку нижче представлена матриця A, яку потрібно привести до ступінчастому увазі. Для того щоб вирішити завдання, будемо слідувати алгоритму:

Зручно виконувати перетворення над такою матрицею, у якої перший елемент у верхньому кутку з лівого боку (тобто «ведучий» елемент) дорівнює 1 або -1. У нашому випадку перший елемент у верхній рядку дорівнює 2 тому поміняємо першу і другу сходинки місцями.

Виконаємо операції віднімання, торкнувшись рядка № 2 3 і 4. Ми повинні отримати в першому стовпці під «провідним елементом нулі. Для досягнення такого результату: з елементів рядка № 2 віднімемо послідовно елементи рядка № 1 помножені на 2; з елементів рядка № 3 віднімемо послідовно елементи рядка № 1 помножені на 4; з елементів рядка № 4 віднімемо послідовно елементи рядка № 1.

Далі будемо працювати з укороченою матрицею (без стовпця № 1 та без рядка № 1). Новий «ведучий» елемент, що стоїть на перетині другого стовпця і другий рядки, дорівнює -1. Переставляти рядки не потрібно, тому переписуємо без змін перший стовпець і першу і другу рядка. Виконаємо операції віднімання, щоб у другому стовпці під «провідним елементом отримати нулі: з елементів третього рядка віднімемо послідовно елементи другого рядка, помножені на 3; з елементів четвертої рядка віднімемо послідовно елементи другого рядка, помножені на 2.

Залишилось змінити останній рядок. З її елементів віднімемо послідовно елементи третього рядка. Таким чином ми отримали ступеневу матрицю.

Приведення матриць до ступеневою використовується в розв'язуванні систем лінійних рівнянь (ВИПАДА) методом Гаусса. Перед розглядом цього методу давайте розберемося в термінах, що мають відношення до СЛУ.

Матриці системи лінійних рівнянь

Матриці застосовуються в різних науках. З використанням таблиць з чисел можна, наприклад, розв'язувати лінійні рівняння, об'єднані в систему, методом Гаусса. Для початку давайте познайомимося з декількома термінами та їх визначеннями, а також подивимося, як з системи, об'єднуючої декілька лінійних рівнянь, що складається матриця. СЛУ – кілька об'єднаних алгебраїчних рівнянь, у яких присутні невідомі в першій мірі і відсутні члени, що представляють собою добуток невідомих. Рішення СЛУ – знайдені значення невідомих, при підстановці яких рівняння в системі стають тождествами. Спільна СЛУ – така система рівнянь, у якій є хоча б одне рішення. Несовместная СЛУ – система рівнянь, яка не має рішень. Як же складається матриця на основі системи, що об'єднує лінійні рівняння? Існують такі поняття, як основна і розширеної матриці системи. Для того щоб отримати основну матрицю системи, необхідно винести в таблицю всі коефіцієнти при невідомих. Розширена матриця виходить шляхом приєднання до основної матриці стовпця вільних членів (в нього входять відомі елементи, до яких у системі прирівнюється кожне рівняння). Зрозуміти весь цей процес можна, вивчивши картинку нижче.

Перше, що ми бачимо на картинці – це систему, що включає в себе лінійні рівняння. Її елементи: a ij – числові коефіцієнти, x j – невідомі величини, b i – вільні члени (де i = 1 2 , m j = 1 2 , n). Другий елемент на картинці – основна матриця з коефіцієнтів. З кожного рівняння коефіцієнти записуються в рядок. У підсумку виходить в матриці стільки рядків, скільки рівнянь входить у систему. Кількість стовпців дорівнює найбільшій кількості коефіцієнтів у якому-небудь рівнянні. Третій елемент на картинці – розширена матриця зі стовпцем вільних членів.

Загальна інформація про методі Гаусса

У лінійної алгебри методом Гаусса називається класичний спосіб вирішення СЛУ. Він носить ім'я Карла Фрідріха Гаусса, який жив у XVIII–XIX ст. Це один з найвидатніших математиків всіх часів. Суть методу Гауса полягає у виконанні елементарних перетворень над системою лінійних алгебраїчних рівнянь. За допомогою перетворень СЛУ приводиться до рівносильній системі трикутної (ступеневої) форми, з якої можна знайти всі змінні.
Варто відзначити, що Карл Фрідріх Гаусс не є першовідкривачем класичного способу вирішення системи лінійних рівнянь. Метод був придуманий набагато раніше. Перше його опис зустрічається в енциклопедії знань стародавніх китайських математиків, що носить назву «Математика в 9 книгах».

Приклад рішення СЛУ методом Гаусса

Розглянемо на конкретному прикладі розв'язування систем методом Гаусса. Будемо працювати з СЛУ, представленої на зображенні. Алгоритм рішення:

Прямим ходом методу Гауса приведемо систему до ступінчастою формою, але для початку складемо розширену матрицю з числових коефіцієнтів і вільних членів.

Щоб вирішити матрицю методом Гауса (тобто привести її до ступінчастому увазі), з елементів другого і третього рядків віднімемо послідовно елементи першого рядка. Отримаємо в першому стовпі під «провідним елементом нулі. Далі поміняємо другу і третю сходинки місцями для зручності. До елементів останнього рядка додамо послідовно елементи другого рядка, помножені на 3.

В результаті обчислення матриці методом Гаусса ми отримали ступінчастий масив елементів. На його основі складемо нову систему лінійних рівнянь. Зворотним ходом методу Гауса знаходимо значення невідомих членів. З останнього лінійного рівняння видно, що x 3 дорівнює 1. Підставляємо це значення в другу сходинку системи. Вийде рівняння x 2 – 4 = -4. Звідси випливає, що x 2 дорівнює 0. Підставляємо x 2 і x 3 у перше рівняння системи: x 1 + 0 +3 = 2. Невідомий член дорівнює -1.

Відповідь: використовуючи матрицю, метод Гаусса, ми знайшли значення невідомих; x 1 = -1 x 2 = 0 x 3 = 1.

Метод Гаусса – Жордана

У лінійної алгебри є ще таке поняття, як метод Гаусса – Жордана. Він вважається модифікацією методу Гауса і застосовується при знаходженні зворотної матриці, обчислення невідомих членів квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса – Жордана зручний тим, що він в один етап дозволяє вирішити СЛУ (без застосування прямого і зворотного ходів). Почнемо з терміну «зворотна матриця». Припустимо, у нас є матриця A. Зворотної для неї буде матриця A -1 при цьому обов'язково виконується умова: A x A -1 = A -1 x A = E, тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці (у одиничної матриці елементи головної діагоналі є одиницями, а інші елементи дорівнюють нулю). Важливий нюанс: у лінійній алгебрі є теорема існування оберненої матриці. Достатню і необхідну умову існування матриці A -1 – невиродженість матриці A. При невырожденности det A (визначник) не дорівнює нулю. Основні кроки, на яких ґрунтується метод Гаусса – Жордана:

Погляньте на перший рядок конкретної матриці. Метод Гаусса – Жордана можна починати застосовувати, якщо перше значення не дорівнює нулю. Якщо ж на першому місці стоїть 0 то поміняйте рядки місцями так, щоб перший елемент мав відмінне від нуля значення (бажано, щоб число було ближче до одиниці).

Розділіть всі елементи першого рядка на перше число. У вас вийде рядок, що починається з одиниці.

З другого рядка відніміть перший рядок, помножену на перший елемент другого рядка, тобто в результаті у вас вийде рядок, що починається з нуля. Аналогічні дії виконайте з іншими рядками. Для того щоб по діагоналі виходили одиниці, ділите кожну рядок на її перший ненульовий елемент.

У підсумку ви отримаєте верхню трикутну матрицю методом Гауса - Жордана. У ній головна діагональ представлена одиницями. Нижній кут заповнений нулями, а верхній кут – різноманітними значеннями.

З передостаннього рядка відніміть останню сходинку, помножену на необхідний коефіцієнт. У вас повинна вийти рядок з нулями і одиницею. Для інших рядків повторіть аналогічну дію. Після всіх перетворень вийде одинична матриця.

Приклад знаходження оберненої матриці методом Гаусса – Жордана

Для обчислення оберненої матриці потрібно записати розширену матрицю A|E і виконати необхідні перетворення. Розглянемо простий приклад. На малюнку нижче представлена матриця A. Рішення:

Для початку знайдемо визначник матриці методом Гаусса (det A). Якщо цей параметр не виявиться рівним нулю, то матриця буде вважатися невырожденной. Це дозволить нам зробити висновок про те, що у A точно є A -1 . Для обчислення визначника перетворимо матрицю до ступінчастої форми елементарними перетвореннями. Підрахуємо число K, що дорівнює числу перестановок рядків. Рядки ми міняли місцями всього 1 раз. Обчислимо визначник. Його значення буде дорівнює добутку елементів головної діагоналі, помноженому на (-1) K . Результат обчислення: det A = 2.

Складемо розширену матрицю, додавши до вихідної матриці одиничну матрицю. Отриманий масив елементів, будемо використовувати для знаходження оберненої матриці методом Гаусса – Жордана.

Перший елемент першого рядка дорівнює одиниці. Нас це влаштовує, тому що не потрібно переставляти рядки і ділити цей рядок на яке-небудь число. Починаємо працювати з другої і третьої рядками. Щоб перший елемент, у другому рядку перетворився в 0 віднімемо від другого рядка перший рядок, помножену на 3. З третього рядка віднімемо перший (множення не потрібно).

В отриманій матриці другий елемент другого рядка дорівнює -4 а другий елемент третього рядка дорівнює -1. Поміняємо рядки місцями для зручності. З третього рядка віднімемо другий рядок, помножену на 4. Другу сходинку розділимо на -1 а третю – на 2. Отримаємо верхню трикутну матрицю.

З другого рядка віднімемо останню сходинку, помножену на 4 з першої строчки – останню сходинку, помножену на 5. Далі віднімемо з першого рядка другий рядок, помножену на 2. З лівого боку ми отримали одиничну матрицю. Справа знаходиться обернена матриця.

Приклад рішення СЛУ методом Гауса – Жордана

На малюнку представлена система лінійних рівнянь. Потрібно знайти значення невідомих змінних, використовуючи матрицю, метод Гауса – Жордана. Рішення:

Складемо розширену матрицю. Для цього винесемо в таблицю коефіцієнти і вільні члени.

Вирішимо матрицю методом Гауса – Жордана. З рядка № 2 рядок віднімемо № 1. З рядка № 3 рядок віднімемо № 1 попередньо помножену на 2.

Поміняємо місцями рядки № 2 і 3.

Від рядка № 3 рядок віднімемо № 2 помножену на 2. Розділимо отриманий третій рядок на -1.

Від рядка № 2 рядок віднімемо № 3.

Від рядка № 1 рядок віднімемо № 2 помноженої на-1. Збоку у нас вийшов стовпчик, що складається з цифр 0 1 і -1. З цього робимо висновок, що x 1 = 0 x 2 = 1 і x 3 = -1.

При бажанні можна перевірити правильність рішення, підставивши обчислені значення у рівняння:

0 – 1 = -1 перше тотожність з системи є вірним;

0 + 1 + (-1) = 0 друге тотожність з системи є вірним;

0 – 1 + (-1) = -2 третє тотожність з системи є вірним.

Висновок: використовуючи метод Гаусса – Жордана, ми знайшли правильне рішення квадратної системи, що об'єднує лінійні алгебраїчні рівняння.

Онлайн-калькулятори

Життя сучасної молоді, яка навчається у вузах і вивчає лінійну алгебру, значно спростилася. Ще кілька років тому знаходити рішення систем методом Гаусса та Гаусса – Жордана доводилося самостійно. Одні студенти успішно справлялися з завданнями, а інші плуталися в рішенні, робили помилки, просили у однокурсників допомоги. Сьогодні можна при виконанні домашнього завдання користуватися онлайн-калькуляторами. Для вирішення систем лінійних рівнянь, пошуку зворотних матриць написані програми, які демонструють не тільки правильні відповіді, але і показують хід вирішення тієї чи іншої задачі. В інтернеті є чимало ресурсів з вбудованими онлайн-калькуляторами. Матриці методом Гаусса, системи рівнянь вирішуються цими програмами за кілька секунд. Студентам потрібно лише вказувати необхідні параметри (наприклад, кількість рівнянь, кількість змінних).