Стверджувати, що ви знаєте математику, неможливо, якщо ви не вмієте будувати графіки, зображати нерівності на координатній прямій, працювати з осями координат. Візуальна складова в науці життєво необхідна, адже без наочних прикладів у формулах і обчисленнях часом можна сильно заплутатися. У даній статті ми розглянемо, як працювати з осями координат, і навчимося будувати найпростіші графіки функцій.

Застосування

Координатна пряма – це основа найпростіших видів графіків, з якими стикається школяр на своєму навчальному шляху. Вона використовується практично у кожної математичної темі: при розрахунку швидкості і часу, проектуванні розмірів об'єктів та обчислення їх площі, тригонометрії при роботі з синусами і косинусами.


Головна цінність такої прямої – це наочність. Оскільки математика – це наука, в якій вимагається високий рівень абстрактності мислення, графіки допомагають у поданні об'єкта в реальному світі. Як він себе веде? В якій точці простору буде знаходитися через кілька секунд, хвилин, годин? Що можна сказати про нього в зіставленні з іншими об'єктами? Якою швидкістю він має у випадково вибраний момент часу? Як охарактеризувати його рух? А про швидкість мова йде неспроста – саме її часто відображають графіки функції. А ще вони можуть відображати зміну температури або тиску всередині об'єкта, його розмірів, орієнтації відносно горизонту. Таким чином, побудувати координатну пряму часто вимагається і у фізиці.

Одновимірний графік

Існує поняття багатомірності. В одновимірному просторі достатньо всього одного числа, щоб визначити місце розташування точки. Це як раз і є випадок із застосуванням координатної прямої. Якщо двовимірне простір, то потрібно два числа. Графіки такого типу використовуються набагато частіше, і трохи далі в статті ми їх обов'язково розглянемо. Що можна побачити за допомогою точок на осі, якщо вона всього одна? Можна побачити розмір об'єкта, його положення в просторі відносно деякого «нуля», тобто точки, обраної в якості початку відліку. Зміна параметрів з плином часу побачити не вдасться, так як всі свідчення будуть відображатися для одного конкретного моменту. Проте з чогось треба починати! Отже, приступимо.

Як побудувати координатну вісь

Для початку потрібно провести горизонтальну лінію - це і буде наша вісь. З правого боку «загостримо» її, щоб вона була схожа на стрілку. Таким чином ми позначимо напрямок, в якому числа будуть збільшуватися. В бік зменшення стрілка зазвичай не ставиться. Традиційно вісь спрямована вправо, тому ми просто підемо цим правилом. Поставимо нульову позначку, яка буде відображати початок координат. Це те саме місце, від якого ведеться відлік, будь то розмір, вага, швидкість або що завгодно. Крім нуля, ми обов'язково повинні позначити так звану ціну поділки, тобто ввести стандарт одиниці, у відповідності з якою будемо відкладати на осі ті чи інші величини. Це обов'язково потрібно робити, щоб вміти знаходити довжину відрізка на координатній прямій.
Через рівну відстань один від одного поставимо крапки або «карби» на лінії, а під ними напишемо відповідно 123 і так далі. І ось, все готово. Але з цим графіком треба ще навчитися працювати.

Види точок на координатної прямої

З першого погляду на запропоновані в підручниках малюнки стає зрозуміло: точки на осі можуть бути зафарбовані або не зафарбовані. Ви думаєте, це випадковість? Зовсім ні! «Суцільна» точка використовується при нестрогому нерівність – те, яке читається як «більше або одно». Якщо ж потрібно строго обмежити інтервал (наприклад, «ікс» може приймати значення від нуля до одиниці, але не включає її), ми скористаємося «порожнистої» точкою, тобто, по суті, маленьким кружком на осі. Треба зауважити, що учні не дуже полюбляють строгі нерівності, тому що з ними важче працювати. В залежності від того, які точки ви використовуєте на графіку, будуть називатися і побудовані інтервали. Якщо нерівність з двох сторін нестроге, то ми отримаємо відрізок. Якщо з одного боку він виявиться «відкритий», то буде називатися полуинтервалом. Нарешті, якщо частина прямої, обмежена з двох сторін порожнистими точками, вона буде називатися інтервалом.

Площина

При побудові двох прямих на координатній площині ми вже можемо розглядати графіки функцій. Скажімо, горизонтальна лінія буде віссю часу, а вертикальна – відстанню. І ось уже ми в змозі визначити, яку відстань подолає об'єкт через хвилину чи годину шляху. Таким чином, робота з площиною дає можливість стежити за зміною стану об'єкта. Це значно цікавіше, ніж дослідження статичного стану. Найпростіший графік на такій площині – пряма, вона відображає функцію Y(X) = aX + b. Лінія згинається? Це означає, що об'єкт змінює свої характеристики в процесі дослідження. Уявіть, що ви стоїте на даху будівлі і тримайте в витягнутій руці камінь. Коли ви відпустіть його, він полетить вниз, почавши свій рух з нульової швидкості. Але вже через секунду він буде долати 36 кілометрів на годину. Камінь продовжить прискорюватися і далі, і щоб намалювати його рух на графіку, вам потрібно заміряти його швидкість в кілька моментів часу, виставивши точки на осі у відповідних місцях.
Позначки на горизонтальній координатній прямій за замовчуванням отримують назву X1 X2X3 а на вертикальній – Y1 Y2Y3 відповідно. Проектуючи їх на площину і знаходячи перетину, ми знаходимо фрагменти результуючого зображення. З'єднавши їх однією лінією, ми одержимо графік функції. У випадку з падаючим каменем квадратична функція буде мати вигляд: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Звичайно, не обов'язково виставляти поряд з поділками на прямий цілочисельні значення. Якщо ви розглядаєте рух равлика, яка повзе зі швидкістю 003 метра в хвилину, виставте в якості значень на координатній прямій дробу. В даному випадку визначте ціну поділки як 001 метра. Особливо зручно виконувати такі креслення в зошиті в клітку – тут відразу видно, чи вистачить місця на аркуші для вашого графіка, не вийдете ви за поля. Свої сили розрахувати нескладно, адже ширина клітини в такий зошити – 05 сантиметра. Знадобилося – зменшили малюнок. Від зміни масштабу графіка він не втратить і не змінить своїх властивостей.

Координати точки відрізка

Коли на уроці дається математична задача, що в ній можуть міститися параметри різних геометричних фігур як у вигляді довжин сторін, периметра, площі, так і у вигляді координат. У цьому випадку може знадобитися як побудувати фігуру, так і отримати якісь дані, пов'язані з нею. Виникає питання: як знайти на координатній прямій необхідну інформацію? І як побудувати фігуру? Наприклад, мова йде про точку. Тоді в умові задачі буде фігурувати заголовна буква, а в дужках будуть стояти кілька цифр, частіше всього дві (це значить, ми будемо вважати у двомірному просторі). Якщо в дужках три числа, записані через крапку з комою або через кому, то це тривимірне простір. Кожне із значень – це координата на відповідній осі: спочатку по горизонтальній (X), потім – по вертикальній (Y). Пам'ятаєте, як побудувати відрізок? Ви проходили це на геометрії. Якщо є дві точки, то між ними можна провести пряму. Їх координати і вказуються в дужках, якщо в задачі фігурує відрізок. Наприклад: A(1513) – B(1 4). Щоб побудувати таку пряму, потрібно на координатній площині знайти і відзначити точки, а потім їх з'єднати. От і все! А будь-які багатокутники, як ви знаєте, можна намалювати за допомогою відрізків. Задача вирішена.

Розрахунки

Припустимо, є деякий об'єкт, стан якого по осі X характеризується двома числами: починається він в точці з координатою (-3) і закінчується в (+2). Якщо ми хочемо дізнатися довжину цього предмета, то повинні з більшого числа відняти менше. Зверніть увагу, що від'ємне число поглинає знак віднімання, тому що «мінус на мінус дає плюс». Отже, ми складаємо (2+3) і отримуємо 5. Це і є необхідний результат. Інший приклад: нам дана кінцева точка і довжина об'єкта, але не дана початкова (і потрібно її знайти). Нехай положення відомої точки (6), а розмір досліджуваного предмета – (4). Віднімаючи довжину з кінцевою координати, ми отримаємо відповідь. Загальна: (6 – 4) = 2.

Від'ємні числа

Нерідко потрібно на практиці працювати з негативними значеннями. В цьому випадку ми будемо йти по осі координат вліво. Наприклад, об'єкт висотою 3 сантиметри плаває у воді. На третину він занурений у рідину, на дві третини знаходиться на повітрі. Тоді, вибравши в якості осі поверхню води, ми з допомогою найпростіших арифметичних обчислень отримуємо два числа: верхня точка об'єкта має координату (+2), а нижня – (-1) сантиметр. Неважко помітити, що у випадку з площиною у нас утворюється чотири чверті координатної прямої. Кожна з них має свій номер. У першій (верхній правій) частині будуть розташовуватися точки, що мають дві позитивні координати, у другий – зліва зверху – значення по осі «ікс» будуть негативні, а за «ігрек» - позитивні. Третя і четверта відраховуються далі проти годинникової стрілки.

Важлива властивість

Ви знаєте, що пряму можна представити як нескінченну безліч точок. Ми можемо переглянути скільки завгодно уважно будь-кількість значень в кожну сторону осі, але не зустрінемо повторюються. Це здається наївним і зрозумілим, але випливає твердження з важливого факту: кожному числу відповідає одна й тільки одна точка на координатній прямій.

Висновок

Пам'ятайте, що будь-які осі, фігури і по можливості графіки необхідно будувати по лінійці. Одиниці вимірювань були придумані людиною не випадково – допустивши похибка при кресленні, ви ризикуєте побачити вже не те зображення, яке повинно було вийти. Будьте уважними та обережними у побудові графіків і обчисленнях. Як і будь-яка наука, що вивчається у школі, математика любить точність. Прикладіть трохи зусиль, і хороші оцінки не змусять себе довго чекати.