Львів
C
» » Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

Система рівнянь Нав'є-Стокса застосовується для теорії стійкості деяких течій, а також для опису турбулентності. Крім того, на ній базується розвиток механіки, яке безпосередньо пов'язане із загальними математичними моделями. У загальному вигляді дані рівняння мають величезний запас інформації і мало вивчені, проте були виведені ще в середині дев'ятнадцятого століття. Головні відбуваються випадки вважаються класичними нерівностей, тобто ідеальна нев'язку рідину і прикордонні шари. Наслідком вихідних даних можуть бути рівняння акустики, стійкості, осредненных турбулентних рухів, внутрішніх хвиль.


Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

Формування і розвиток нерівностей

Вихідні рівняння Нав'є-Стокса володіють величезними даними фізичних ефектів, а слідчі нерівності відрізняються тим, що мають складність характерних ознак. Зважаючи на те, що вони також є нелінійними, нестаціонарними, з наявністю при цьому малого параметра, з притаманною старшої похідної та характером руху простору, їх можна вивчати за допомогою чисельних методів. Пряме математичне моделювання турбулентності руху рідини в структурі нелінійних диференціальних рівнянь має прямим і принциповим значенням у цій системі. Чисельні рішення Нав'є-Стокса були складними, залежними від великої кількості параметрів, тому викликали дискусії і вважалися незвичними. Однак у 60-х роках поклало в основу розвитку гідродинаміки і математичних методів становлення та вдосконалення, а також широке поширення ЕОМ.


Подальші відомості про систему Стокса

Сучасне математичне моделювання в структурі нерівностей Нав'є повністю сформована і розглядається як незалежна напрямок у галузях знань:
  • механіки рідини і газу;
  • аэрогидродинамике;
  • машинобудуванні;
  • енергетиці;
  • природних явищ;
  • технології.
  • Більшість додатків подібного характеру вимагає конструктивних і швидких рішень для робочого процесу. Точний розрахунок змінних в цій системі підвищує надійність, знижує металоємність, обсяг енергетичних схем. В результаті витрати на обробку зменшуються, поліпшується експлуатаційна та технологічна складова машин, апаратів, якість матеріалів стає вище. Безперервний ріст і продуктивність ЕОМ дає можливість удосконалюватися чисельного моделювання, а також подібних методів рішення систем диференціальних рівнянь. Всі математичні способи і системи об'єктивно розвиваються під впливом нерівностей Нав'є-Стокса, які містять значні резерви знань.
    Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

    Природна конвекція

    Завдання механіки в'язкої рідини вивчалися на основі рівнянь Стокса, природно-конвективне тепло - і масообмін. Крім того додатки даній області в результаті теоретичних практик досягли прогресу. Неоднорідність температури, складу рідини, газу і сила тяжіння викликають певні коливання, які мають назву природної конвекції. Вона також є гравітаційної, яка також ділиться на теплову та концентраційну гілки. Крім усього іншого, цей термін поділяють термокапиллярная і інші різновиди конвекцією. Існуючі універсальні механізми. Вони беруть участь і лежать в основі більшості рухів газу, рідини, які зустрічаються і присутні у природній сфері. Крім цього, впливають і впливають на елементи конструкції, засновані тепловими системами, а також на однорідність, теплоізоляційну ефективність, поділ речовин, структурну досконалість матеріалів, створених з рідкої фази.

    Особливості даного класу рухів

    Фізичні критерії виражені в складній внутрішній структурі. У цій системі складно выделяемы ядро течії і пограничний шар. Крім того, особливостями є наступні змінні:
  • взаємний вплив різних полів руху, температури, концентрації);
  • сильна залежність вищевказаних параметрів відбувається від граничних, початкових умов, які, в свою чергу, визначають критерії подібності і різних ускладнених факторів;
  • числові значення в природі, техніці змінюються в широкому значенні;
  • в результаті робота технічних та подібних установок може.
  • Фізичні властивості речовин, які змінюються в широкому діапазоні під впливом різних факторів, а також геометрія та граничні умови впливають на задачі конвекції, причому кожен зазначений критерій відіграє важливу роль. Характеристики масообміну і тепла залежать від безлічі шуканих параметрів. Для практичних додатків, необхідні традиційні визначення: потоки, різні елементи режимів конструкцій, температурне розшарування, структура конвекції, мікро - і макронеоднородности концентраційних полів.
    Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

    Нелінійні диференціальні рівняння та їх розв'язок

    Математичне моделювання, або, по-іншому, методи обчислювальних експериментів, що розробляються з урахуванням специфічної системи нелінійних рівнянь. Удосконалена форма виведення нерівностей складається з декількох етапів:
  • Вибір фізичної моделі явища, яке досліджується.
  • Визначають його вихідні значення групуються у сукупність даних.
  • Математична модель вирішення рівнянь Нав'є-Стокса та крайових умов в якій-небудь мірі описує створене явище.
  • Розробляється метод або спосіб обчислення задачі.
  • Створюється програма для розв'язання систем диференціальних рівнянь.
  • Розрахунки, аналіз та обробка результатів.
  • Застосування на практиці.
  • З усього цього випливає, що основне завдання – це досягнення вірного висновку на основі даних дій. Тобто фізичний експеримент, що застосовується в практиці, повинен вивести певні результати і створити висновок про правильність і доступність моделі або ЕОМ-програми, розвиненою заради цього явища. Зрештою, можна судити про удосконаленому способі обчислення або про те, що його необхідно доопрацювати.

    Рішення систем диференціальних рівнянь

    Кожен зазначений етап безпосередньо залежить від заданих параметрів предметної області. Математичний метод здійснюється для рішення систем нелінійних рівнянь, які належать різних класів завдань, і їх обчислення. Зміст кожного вимагає повноти, точності фізичних описів процесу, а також особливості при практичних застосуваннях будь з досліджуваних предметних областей. Математичний спосіб обчислення на основі методів вирішення нелінійних рівнянь Стокса застосовується у механіки рідини і газу та вважається наступним кроком слідом за теорією Ейлера і пограничним шаром. Таким чином, в даному варіанті обчислення високі вимоги до ефективності, швидкодії, досконалості обробки. Особливо ці вказівки застосовуються до режимів течії, які можуть втратити стійкість і перейти до турбулентності.
    Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

    Детальніше про ланцюжку дій

    Технологічна ланцюжок, а точніше, математичні етапи повинні бути забезпечені безперервністю і рівною міцністю. Чисельне розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса складається з дискретизації – при побудові конечномерное моделі в складі будуть якісь алгебраїчні нерівності і метод цієї системи. Конкретний спосіб обчислення визначається безліччю факторів, серед яких: особливості класу завдань, вимоги, можливості техніки, традиції і кваліфікація.

    Чисельні рішення нестаціонарних нерівностей

    Щоб побудувати систему числення для завдань, необхідно визначити порядок диференціального рівняння Стокса. По суті, у нього закладена класична схема двовимірних нерівностей для конвекції, тепло - і масообміну Буссинеска. Все це виводиться із загального класу задач Стокса про нестисливої рідини, щільність якої не залежить від тиску, але має зв'язок з температурою. У теорії вона вважається динамічно і статично стійкою. З урахуванням теорії Буссинеска всі термодинамічні параметри та їх значення при відхиленнях особливо не змінюються і залишаються відповідними статичної рівноваги і взаємопов'язаними з ним умовами. Модель, створена на основі цієї теорії, враховує мінімальні коливання і можливі розбіжності у системі в процесі зміни складу чи температури. Таким чином, рівняння Буссинеска виглядає наступним чином: p=p (c, T). Температура, домішка, тиск. Причому щільність є незалежною змінною.
    Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

    Сутність теорії Буссинеска

    Щоб описати конвекцію, в теорії Буссинеска застосовна важлива відмітна особливість системи, яка не містить гідростатичних ефектів стисливості. Акустичні хвилі виявляються у системі нерівностей, якщо виникає залежність густини та тиску. Подібні ефекти фільтруються при розрахунку відхилення температури та інших змінних від статичних значень. Цей фактор суттєво впливає на конструювання обчислювальних методів. Однак якщо відбуваються якісь зміни або перепади домішок, змінних, збільшується гідростатичний тиск, то рівняння слід скорегувати. Рівняння Нав'є-Стокса і звичайні нерівності мають відмінності, особливо для обчислення конвекції стисливого газу. У цих завданнях присутні проміжні математичні моделі, де враховується зміна фізичного властивості або виконується детальний облік зміни щільності, яка залежить від температури і тиску, і концентрації.

    Особливості і характеристики рівнянь Стокса

    Нав'є і його нерівності складають основу конвекції, крім цього, мають специфіку, певні особливості, які проявляються і виражаються в чисельному втіленні, а також не залежать від форми запису. Характерною рисою цих рівнянь вважається просторово-еліптична сутність рішень, яка обумовлена в'язким течією. Для вирішення необхідно використовувати і застосовувати типові способи. Нерівності прикордонного шару відрізняються. У цих потрібна постановка певних умов. В системі Стокса присутній старша похідна, завдяки якій рішення змінюється і стає гладким. Прикордонний шар і стінки ростуть, в кінцевому підсумку, дана структура є нелінійною. В результаті - схожість і взаємозв'язок з гідродинамічним типом, а також з нестисливої рідиною, інерційними складовими, кількість руху в шуканих завданнях.
    Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

    Характеристика нелінійності в нерівностях

    При вирішенні систем рівнянь Нав'є-Стокса враховуються великі числа Рейнольдса, У результаті це призводить до складних просторово-часових структур. У природній конвекції немає швидкості, яку встановлюють у завданнях. Таким чином, число Рейнольдса відіграє значну роль у вказаному значенні, а також застосовується для отримання різних рівностей. Крім того, застосування цього варіанта широко використовується для отримання відповідей з системами Фур'є, Грасгофа, Шмідта, Прандтля та інших. У наближенні Буссинеска рівняння відрізняються специфікою, зважаючи на те, що значна частка взаємного впливу полів температури і течії зумовлена певними факторами. Нестандартність протікання рівняння обумовлена нестійкістю, найменшим числом Рейнольдса. У разі ізотермічної течії рідини ситуація з нерівностей змінюється. Різні режими містяться в нестаціонарних рівняннях Стокса.

    Сутність та розвиток чисельних досліджень

    До недавнього часу лінійні гідродинамічні рівняння мали на увазі застосування великих чисел Рейнольдса і чисельних вивчення поведінки малих збурень, рухів тощо. Сьогодні різні течії увазі чисельне моделювання з прямими вхождениями перехідних і турбулентних режимів. Все це вирішується за системою нелінійних рівнянь Стокса. Чисельний результат в даному випадку є миттєвим значенням всіх полів за заданими критеріями.
    Нав'є-Стокса. Математичне моделювання. Рішення систем диференціальних рівнянь

    Обробка нестаціонарних результатів

    Миттєві кінцеві значення представляють собою чисельні реалізації, які піддаються тим же систем і способів статистичної обробки, що і лінійні нерівності. Інші прояви нестаціонарності руху виражені в змінних внутрішніх хвиль, стратифікованої рідини і т. д. Однак всі ці значення в кінцевому результаті описуються вихідною системою рівнянь та обробляються, аналізуються усталеними значеннями, схемами. Інші прояви нестаціонарності виражені хвилями, які розглядаються як перехідний процес еволюції початкових збурень. Крім того, існують класи нестаціонарних рухів, які пов'язані з різними масовими силами і їх коливаннями, а також з тепловими умовами, що змінюються в часовому проміжку.