Системи числення - що це? Навіть не знаючи відповіді на це питання, кожен з нас мимоволі у своєму житті користується системами числення і не підозрює про це. Саме так, у множині! Тобто не однією, а декількома. Перш ніж навести приклади непозиционних систем числення, давайте розберемося в цьому питанні, поговоримо і про позиційних системах теж.

Потреба в рахунку

З давнини люди мали потребу в рахунку, тобто інтуїтивно усвідомлювали, що потрібно якимось чином висловити кількісне бачення речей і подій. Мозок підказував, що необхідно використовувати предмети для рахунку. Найбільш зручними завжди були пальці на руках, і це зрозуміло, адже вони завжди в наявності (за рідкісними винятками).


От і доводилося древнім представникам роду людського загинати пальці в прямому сенсі - позначати кількість убитих мамонтів, наприклад. Назв в таких елементів рахунки ще не було, а лише візуальна картинка, зіставлення.

Сучасні позиційні системи числення

Система числення - це метод (спосіб) преставлення кількісних значень величин за допомогою певних знаків (символів або цифр). Необхідно розуміти, що таке позиційні і непозиционность в рахунку, перш ніж наводити приклади непозиционних систем числення. Позиційних систем числення безліч. Зараз використовують у різних областях знань наступні: двійкову (включає тільки дві значущі елементи: 0 і 1), шестеричную (кількість знаків - 6), вісімкову (знаків - 8), двенадцатеричную (дванадцять знаків), шістнадцяткову (включає шістнадцять знаків). Причому кожен ряд знаків в системах починається з нуля. Сучасні комп'ютерні технології засновані на використанні двійкових кодів - двійкової позиційної системи числення.

Десяткова система числення

Позиционностью вважається наявність в різній ступені значимих позицій, на яких розташовуються знаки числа. Найкраще це можна продемонструвати на прикладі десяткової системи числення. Адже саме нею ми звикли користуватися з самого дитинства. Знаків у цій системі десять: 012 345 678 9. Візьмемо число 327. У ньому є три знаки: 327. Кожен з них розташований на своїй позиції (місці). Сімка займає позицію, відведену під одиничні значення (одиниці), двійка - десятки, а трійка - сотні. Так як число тризначне, отже, позицій у ньому всього три. Виходячи з вищесказаного, таке тризначне десяткове число можна описати наступним чином: три сотні, два десятка і сім одиниць. Причому значимість (важливість) позицій відраховується зліва направо, від слабкої позиції (одиниці) до більш сильної (сотні). Нам дуже зручно себе почувати в десятковій позиційній системі числення. У нас на руках десять пальців на ногах - також. П'ять плюс п'ять - так, завдяки пальцях, ми з дитинства легко уявляємо собі десяток. Ось чому буває легко дітям вчити таблицю множення на п'ять, на десять. А ще так просто навчитися рахувати грошові банкноти, які найчастіше кратні (тобто діляться без залишку) на п'ять, на десять.

Інші позиційні системи числення

На подив багатьох, слід сказати, що не тільки в десятковій системі рахунки наш мозок звик робити якісь розрахунки. Досі людство користується шестеричной і двенадцатирічня системами числення. Тобто в такій системі існує тільки шість знаків (шестеричной): 012 345. У двенадцатирічня їх дванадцять: 012 345 678 9 А, В, де А - позначає число 10 У - число 11 (оскільки знак повинен бути один). Посудіть самі. Ми вважаємо час шістками, чи не так? Одна година - шістдесят хвилин (шість десятків), одну добу - це двадцять чотири години (два рази по дванадцять), рік - дванадцять місяців і так далі Всі тимчасові інтервали легко укладаються у шести - і двенадцатеричние ряди. Але ми настільки до цього звикли, що навіть не замислюємося при відліку часу.

Непозиционние системи числення. Унарная

Необхідно визначитися в тому, що це таке - непозиционная система числення. Це така знакова система, в якій немає позицій для знаків числа, або принцип "прочитання" числа від позиції не залежить. У ній також існують свої правила запису або обчислень. Наведемо приклади непозиционних систем числення. Повернемося до старовини. Люди потребували рахунку і придумали найбільш просте винахід - вузлики. Непозиционной системою числення є вузликова. Один предмет (мішок рису, бик, стіг сіна тощо) відраховували, наприклад, при купівлі або продажу та зав'язували вузлик на мотузочці. У підсумку на мотузці виходило стільки вузликів, скільки мішків рису куплено (як приклад). Але також це могли бути насічки на дерев'яній паличці, на кам'яній плиті і т. д. Така система числення стала називатися вузликової. У неї існує друга назва - унарная, або одинична ("уно" на латині означає "один"). Стає очевидним, що дана система числення - непозиционная. Адже про яких позиціях може йти мова, коли вона (позиція) всього одна! Як не дивно, в деяких куточках Землі досі в ходу унарная непозиционная система числення.
Також до непозиционним систем числення відносять:

римську (для написання чисел використовуються букви - латинські символи);

давньоєгипетську (схожа на римську, також використовувалися символи);

алфавітну (використовувалися літери алфавіту);

вавілонську (клинопис - використовували прямий і превернутий "клин");

грецьку (також відносять до алфавітної).

Римська система числення

Стародавня римська імперія, а також її наука, була дуже прогресивною. Римляни дали світу безліч корисних винаходів науки і мистецтва, в тому числі свою систему рахунки. Дві сотні років тому римські числа використовували для позначення сум в ділових документах (таким чином уникали підробки). Римська нумерація - приклад непозиционной системи числення, вона відома нам нині. Також римська система активно використовується, але не для математичних розрахунків, а для вузько спрямованих дій. Наприклад, з допомогою римських чисел прийнято називати історичні дати, століття, номери томів, розділів і глав у книжкових виданнях. Часто використовують римські знаки для оформлення циферблатів годин. А також римська нумерація є прикладом непозиционной системи числення. Римляни позначали цифри літерами латиниці. Причому числа вони записували за певними правилами. Існує перелік ключових символів в римській системі числення, з допомогою них записувалися всі числа без винятку. Позначення чисел римської системи числення

Число в десятковій системі числення)



Римське число (буква латинського алфавіту)



1



I



5



V



10



X



50



L



100



C



500



D



1000



M

Правила складання чисел

Необхідне число виходило шляхом додавання знаків (букв латиниці) і обчислення їх суми. Розглянемо, як символічно записуються знаки в римській системі і як потрібно їх "зчитувати". Перерахуємо основні закони формування чисел в римській непозиционной системі числення.

Число чотири - IV, складається з двох знаків (I, V - п'ять). Воно виходить шляхом вирахування меншого знака з більшого, якщо він стоїть лівіше. Коли менший знак розташований праворуч, необхідно складати, тоді вийде число шість - VI.

Необхідно складати два однакових знака, що стоять поруч. Наприклад: СС - це 200 (С - 100), або ХХ - 20.

Якщо перший знак числа менше другого, то третім у цьому ряді може бути символ, значення якого ще менше першого. Щоб не заплутатися, наведемо приклад: CDX - 410 (дес).

Деякі великі числа можуть бути представлені різними способами, що є одним з мінусів римської системи рахунку. Наведемо приклади: MVM (римська система) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (десяткова система) або MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. І це ще не всі способи.

Прийоми арифметики

Непозиционная система числення - це іноді складний набір правил формування чисел, їх обробки (дій над ними). Арифметичні операції в непозиционних системах числення - справа непроста для сучасних людей. Не заздримо давньоримським математикам! Приклад додавання. Спробуємо скласти два числа: XIX + XXVI = XXXV, це завдання виконується в дві дії:

Перше - беремо і складаємо менші частки чисел: IX + VI = XV (I після V і I перед X "знищують" один одного).

Друге - складаємо великі частки двох чисел: X + XX = XXX.

Віднімання виконується дещо складніше. Уменьшаемое число потрібно розбити на складові елементи, а після цього в уменьшаемом і вичитаемом скоротити дубльовані символи. З числа 500 віднімемо 263: D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII. Множення римських чисел. До речі, слід згадати, що у римлян не було знаків арифметичеких операцій, вони просто словами позначали їх. Множене число множити потрібно було на кожен окремий символ множника, виходило кілька творів, які необхідно було скласти. Таким способом виробляють множення многочленів. Що стосується розподілу, то цей процес у римській системі числення був і залишається найбільш складним. Тут застосовувалися стародавні римські рахунки - абак. Щоб працювати з ним людей спеціально навчали (і не всякому людині вдавалося таку науку освоїти).

Про недоліки непозиционних систем

Як було сказано вище, в непозиционних системах числення існують свої недоліки, незручності у використанні. Унарная достатня проста для простого рахунку, але для арифметики і складних обчислень вона не годиться зовсім. У римській відсутні єдині правила формування великих чисел і виникає плутанина, а також в ній дуже складно проводити обчислення. Крім того, самим великим числом, яке могли записати стародавні римляни з допомогою свого методу, було 100000.