У курсі інформатики, незалежно, шкільному або університетському, особливе місце приділяється такому поняттю як системи числення. Як правило, на нього виділяють декілька уроків чи практичних занять. Основна мета - не лише засвоїти основні поняття теми, вивчити види систем числення, але і познайомитися з двійковій, вісімковій та шістнадцятковій арифметикою.

Що це означає?

Почнемо з визначення основного поняття. Як зазначає підручник "Інформатика", система числення - це система запису чисел, у якій використовується спеціальний алфавіт або певний набір цифр.


В залежності від того, чи змінюється значення цифри від її положення в числі, виділяють дві: позиційну і непозиционную системи числення. У позиційних системах значення цифри змінюється разом з її становищем у числі. Так, якщо взяти число 234 то цифра 4 в ній означає одиниці, якщо ж розглянути число 243 то тут вона буде вже означати десятки, а не одиниці. У непозиционних системах значення цифри статично, незалежно від її положення в числі. Найбільш яскравий приклад – палочковая система, де кожна одиниця позначається за допомогою риски. Неважливо, куди ви припишіть паличку, значення числа змінитися лише на одиницю.

Непозиционние системи

До непозиционним систем числення відносяться:

Одинична система, яка вважається однією з перших. В ній замість цифр використовувалися палички. Чим їх більше, тим більше значення числа. Зустріти приклад чисел, записаних таким чином, можна у фільмах, де йдеться про загублені в морі людей, ув'язнених, які відзначають кожен день з допомогою зарубок на камені чи дереві.

Римська, в якій замість цифр використовувалися латинські літери. Використовуючи їх, можна записати будь-яке число. При цьому його значення визначалося за допомогою суми і різниці цифр, з яких складалося число. Якщо зліва від цифри знаходилося менше число, то ліва цифра віднімалася з правої, а якщо справа цифра була меншою або дорівнює цифрі зліва, то їх значення підсумовувалися. Наприклад, число 11 записувалося як XI, а 9 – IX.

Літерні, в яких числа позначалися за допомогою алфавіту тієї чи іншої мови. Однією з них вважається слов'янська система, в якій ряд букв мав не тільки фонетичне, але і числове значення.

Вавилонська система числення, у якій використовувалося всього два позначення для запису – клини і стрілочки.

У Єгипті теж використовувалися спеціальні символи для позначення чисел. При записі числа кожен символ міг використовуватися не більше дев'яти разів.

Позиційні системи

Велика увага приділяється в інформатиці позиційних систем числення. До них відносяться наступні:

двійкова;

вісімкова;

десяткова;

шістнадцяткова;

шестидесятеричная, використовувана при рахунку часу (наприклад, в хвилині 60 секунд, в годині - 60 хвилин).

Кожна з них володіє своїм алфавітом для запису, правилами перекладу і виконання арифметичних операцій.

Десяткова система

Дана система є для нас найбільш звичною. В ній використовуються цифри від 0 до 9 для запису чисел. Вони також носять назву арабських. В залежності від положення цифри в числі, вона може позначати різні розряди – одиниці, десятки, сотні, тисячі або мільйони. Її ми користуємося повсюдно, знаємо основні правила, за якими здійснюються арифметичні операції над числами.

Двійкова система

Одна з основних систем числення в інформатиці – двійкова. Її простота дозволяє комп'ютеру проводити громіздкі обчислення в кілька разів швидше, ніж в десятковій системі. Для записи чисел використовується лише дві цифри – 0 і 1. При цьому, в залежності від положення 0 або 1 в числі, його значення буде змінюватися. Спочатку саме з допомогою двійкового коду комп'ютери отримували всю необхідну інформацію. При цьому, одиниця означала наявність сигналу, що передається з допомогою напруги, а нуль – його відсутність.

Вісімкова система

Ще одна відома комп'ютерна система числення, в якій застосовуються цифри від 0 до 7. Застосовувалася в основному в тих галузях знань, які пов'язані з цифровими пристроями. Але останнім часом вона вживається значно рідше, так як на зміну їй прийшла шістнадцяткова система числення.

Двійково-десяткова система

Подання великих чисел у двійковій системі для людини – процес досить складний. Для його спрощення була розроблена двійково-десяткова система числення. Використовується вона зазвичай в електронних годинниках, калькуляторах. У даній системі з десяткової системи в двійкову перетворюється не всі числа, а кожна цифра переводиться у відповідний їй набір нулів і одиниць в двійковій системі. Аналогічно відбувається і переказ з двійкової системи в десяткову. Кожна цифра, представлена у вигляді чотиризначного набору нулів та одиниць, переводиться в цифру десяткової системи числення. В принципі, немає нічого складного. Для роботи з числами в даному випадку знадобиться таблиця систем числення, в якій буде зазначено відповідність між цифрами і їх двійковим кодом.

Шістнадцяткова система

Останнім часом все більшу популярність набуває в програмуванні та інформатики шістнадцяткова система числення. В ній використовуються не тільки цифри від 0 до 9 але і ряд латинських літер A, B, C, D, E, F.
При цьому, кожна з букв має своє значення, оскільки A=10 B=11 C=12 і так далі. Кожне число представляється у вигляді набору з чотирьох знаків: 001F.

Переклад чисел з десяткової в двійкову

Переклад в системах числення чисел відбувається за певними правилами. Найбільш часто зустрічається переведення із двійкової у десяткову систему і навпаки. Для того, щоб перевести число з десяткової системи в двійкову, треба послідовно ділити його на основу системи числення, тобто, число два. При цьому, залишок від кожного ділення необхідно фіксувати. Так буде відбуватися до тих пір, поки остача від ділення не буде менше або дорівнює одиниці. Проводити обчислення найкраще в стовпчик. Потім отримані залишки від ділення записуються в рядок у зворотному порядку. Наприклад, переведемо число 9 у двійкову систему: Ділимо 9 так як число не ділиться націло, то беремо число 8 залишок буде 9 – 1 = 1. Після ділення на 8 2 отримуємо 4. Знову ділимо його, так як число ділиться націло – маємо в залишку 4 – 4 = 0. Проводимо ту ж операцію з 2. В залишку отримуємо 0. У результаті поділу у нас виходить 1. Далі записуємо всі отримані нами залишки у зворотному порядку, починаючи з підсумків ділення: 1001. Незалежно від підсумкової системи числення, переклад чисел з десяткової в будь-яку іншу відбуватиметься за принципом ділення числа на основу позиційної системи.

Переклад чисел з двійкової в десяткову

Досить легко переводити числа в десяткову систему числення з двійкової. Для цього достатньо знати правила зведення числа у ступінь. В даному випадку, ступінь двійки. Алгоритм перекладу наступний: кожну цифру з двійкового коду числа необхідно помножити на двійку, причому, перша двійка буде ступеня m-1 друга – m-2 і так далі, де m – кількість цифр в коді. Потім скласти результати складання, отримавши ціле число. Для школярів цей алгоритм можна пояснити простіше: Для початку беремо і записуємо кожну цифру, помножену на двійку, потім проставляємо ступінь двійки з кінця, починаючи з нуля. Потім складаємо отримане число. Для прикладу розберемо з вами отримане раніше число 1001 перевівши його в десяткову систему, і заодно перевіримо правильність наших обчислень. Це буде виглядати наступним чином: 1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9. При вивченні даної теми зручно використовувати таблицю із степенями двійки. Це суттєво зменшить кількість часу, необхідне для проведення обчислень.

Інші варіанти перекладу

У деяких випадках переклад може здійснюватися між двійковій, вісімковій і системою числення, двійковому і шістнадцятковому. У такому разі можна користуватися спеціальними таблицями або ж запустити на комп'ютері програму калькулятор, вибравши у вкладці вид варіант «Програміст».

Арифметичні операції

Незалежно від того, в якому вигляді представлено число, з ним можна проводити звичні для нас обчислення. Це може бути ділення і множення, віднімання і додавання в системі числення, яку ви обрали. Звичайно, для кожної з них діють свої правила. Так для двійкової системи розроблені свої таблиці для кожної з операцій. Такі ж таблиці використовуються і в інших позиційних системах. Заучувати їх необов'язково – досить просто роздрукувати і мати під рукою. Також можна скористатися калькулятором на ПК. Одна з найважливіших тем в інформатиці – система числення. Знання цієї теми, розуміння алгоритмів переведення чисел з однієї системи в іншу – запорука того, що ви зможете розібратися в більш складних темах, таких як алгоритмізація і програмування і зможете самостійно написати свою першу програму.