Відповіді, які дає ця область знань
Матриці забезпечують теоретично і практично корисний спосіб вирішення багатьох проблем, таких як:Як працювати з матрицями
Ці значення вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри і кожен елемент однією дорівнює відповідному елементу іншого. Є можливість помножити матрицю на будь-яку константу. Ця даність називається скалярним множенням. Приклад: 2=[1234]=[2в‹…12в‹…32в‹…22в‹…4]=[2468]. Матриці того ж розміру можуть бути додані і відняті входами, а значення сумісних розмірів можуть бути помножені. Приклад: додати дві A та B: A=[21в€’10]B=[1423]. Це можливо, так як A і B – обидві матриці мають дві рядків і стільки ж стовпців. Необхідно додавати кожен елемент в A до відповідного елемента B: A+B=[2+11+2в€’1+40+3]=[3333]. Аналогічно віднімають алгебри матриці.Множення матриць відбувається трохи інакше. Причому, випадків і варіантом може бути безліч, так само як і рішень. Якщо помножити матрицю Ap * q і Bm * n, то твір Apxq+Bmxn=[AB]pxn. Елемент g-ої рядку і h-й стовпець AB є сумою твору відповідних елементів g A і B. h Є можливість тільки перемножити дві матриці, якщо кількість стовпців першої і рядків у другій рівні. Приклад: виконати умову для розглянутих A та B: A=[1в€’130]B=[2в€’11214]. Це можливо, так як перша матриця містить 2 стовпця, а друга містить 2 рядки. AB=[1в‹…2+3в‹…в€’1в€’1в‹…2+0в‹…в€’11в‹…1+3в‹…2в€’1в‹…1+0в‹…21в‹…1+3в‹…4в€’1в‹…1+0в‹…4]=[в€’1в€’27в€’113в€’1].
Основна інформація про матрицях
Аналізовані значення організують інформацію, таку як змінні і константи, і зберігають їх в рядках і стовпцях, їх зазвичай називають C. Кожна позиція в матриці називається елементом. Приклад: C=[1234]. Складається з двох рядків і двох стовпців. Елемент 4 знаходиться в рядку 2 та стовпці 2. Зазвичай можна назвати матрицю після її розмірів, та, що з ім'ям Cm * k має m рядків і k стовпців.Розширені матриці
Аналізовані значення неймовірно корисні речі, які виникають у різних прикладних областях. Матриці спочатку були засновані на системах лінійних рівнянь. Враховуючи наступну структуру нерівностей, необхідно взяти до відома наступну пов'язану доповнену матрицю:2x + 3y – z = 6 –x – y – z = 9 x + y + 6z = 0. Записати коефіцієнти і значення відповідей, включаючи всі знаки «мінус». Якщо елемент з від'ємним числом, то він буде дорівнює «1». Тобто, враховуючи систему (лінійних) рівнянь, є можливість пов'язати з нею матрицю (сітку чисел всередині дужок). Саме ту, яка містить тільки коефіцієнти лінійної системи. Це називається «розширеною матрицею». Сітка, що містить коефіцієнти з лівої частини кожного рівняння, була «доповнено» з відповідями правій частині кожного рівняння. Записи, тобто значення B матриці відповідають значенням x-, y - і z у вихідній системі. Якщо вона правильно влаштована, то в першу чергу перевіряють її. Іноді потрібно переставити терміни або вставити нулі в якості власників місць у досліджуваній або досліджуваної матриці. Враховуючи таку систему рівнянь, можна відразу написати пов'язану доповнену матрицю: x + y = 0 y + z = 3 z – x = 2. Спочатку обов'язково потрібно переставити систему як: x + y = 0 y + z = 3 –x + z = 2. Тоді є можливість написати пов'язану матрицю як:[11000113-1012]. При формуванні розширеної варто використовувати нуль для будь-якого запису, де відповідне пляма в системі лінійних рівнянь порожнє.
Алгебра матриць: властивості операцій
Якщо необхідно сформувати елементи тільки з значень коефіцієнтів, то розглянуте значення буде виглядати так:[110011-101]. Це називається «матрицею коефіцієнтів. Враховуючи таку розширену алгебру матриць, необхідно її удосконалити і дописати пов'язану лінійну систему. При цьому, важливо пам'ятати, що для них вимагається, щоб змінні були збудовані добре і акуратно. І звичайно, коли є три змінні, використовувати x, y і z у цьому порядку. Тому пов'язана лінійна система повинна бути:x + 3y = 4 2y - z = 5 3x + z = -2.
Розмір матриці
Розглянуті елементи часто згадуються за їх показниками. Розмір матриці в алгебрі задається у вигляді вимірювання, так як кімната може називатися по-різному. Вимірювані показники значень – це рядки і стовпці, а не ширина і довжина. Наприклад, матриця A: [1234] [2345] [3456]. Оскільки A має три рядки і чотири стовпця, розмір A дорівнює 3 x 4. -> ? Рядки йдуть збоку. Стовпці йдуть вгору і вниз. «Рядок та стовпець» є технічними умовами і не взаємозамінні. Матричні розміри завжди задаються з числом рядків, а потім числом стовпців. Дотримуючись цієї угоди, наступна B: [123] [234]дорівнює 2 x 3. Якщо матриця має таку ж кількість рядків, стовпців, то вона називається «влученням». Наприклад, значення коефіцієнтів зверху: [110] [011] [-101]являє собою квадратну матрицю 3 x 3.Матричні позначення та форматування
Примітка щодо форматування: наприклад, коли необхідно написати матрицю, важливо використовувати дужки[]. Не використовуються бари абсолютного значення ||, оскільки у цьому контексті вони мають інший напрямок. Ні в якому разі не застосовуються круглі або фігурні дужки {}. Або який-небудь інший символ угруповання або взагалі ніякого, оскільки ці презентації не мають ніякого значення. В алгебрі матриця завжди знаходиться всередині квадратних дужок. Необхідно використовувати тільки правильну позначення, або одержувані відповіді можуть вважатися спотвореними. Як згадувалося раніше, значення, що містяться в матриці, називаються записами. З якоїсь причини розглянуті елементи зазвичай пишуться прописними буквами, такими як A або B, а запису зазначаються з використанням відповідних рядкових, але з індексами. У матриці A значення зазвичай називаються «ai, j, де i - це рядок A, а j - стовпчик A. Наприклад, a32 = 8. Запис a13 дорівнює 3. Для менших матриць, тих, у яких менше десяти рядків і стовпців, кома в нижньому індексі іноді опускається. Наприклад, a13 = 3» може бути записано як «a13 = 3». Очевидно, це не буде працювати для великих матриць, так як a213 буде неясним.
Типи матриць
Іноді класифікуються згідно з конфігураціями їх записів. Наприклад, така матриця, яка має всі нульові запису нижче діагоналі зверху-ліворуч-вниз-праворуч «діагональ», називається верхньою трикутною. Крім усього іншого, можуть бути й інші види та типи, але вони не дуже корисні. Як правило, в основному сприймаються як верхня трикутна. Значення з ненульовими показниками тільки по горизонталі називаються діагональними. Подібні типи мають ненульові записи в яких всі 1 такі відповіді носять назву ідентичних (з причин, які стануть зрозумілими, коли буде вивчено і зрозуміло, як множити аналізовані значення). Існує багато аналогічних досліджуваних показників. Тотожність 3 x 3 позначається I3. Аналогічно ідентичність 4 x 4 дорівнює I4.
Алгебра матриць і лінійні простору
Потрібно звернути увагу, що трикутні матриці квадратні. Але діагоналі треугольны. Зважаючи на це є квадратними. А тотожності вважаються діагоналями і, отже, трикутними і квадратними. Коли потрібно описувати матрицю, то зазвичай просто вказується власна сама певна класифікація, так як це передбачає всі інші. Класифікувати наступні варіанти досліджень:[[9 10 11 12] [5 6 7 8] [1 2 3 4]]можна як 3 x 4. В даному випадку вони не є квадратними. Тому значення не можуть бути якимись ще. Наступна класифікація:[[9 0 4] [3 -2 3] [1 6 7]]можна як 3 x 3. Але при цьому вона вважається квадратної, і в цьому немає нічого особливого. Класифікація наступних даних:[[0 8 -4] [1 0 2] [0 0 5]]як 3 x 3 верхня трикутна, але вона не діагональна. Правда, в розглянутих значеннях можуть матися додаткові нулі на розташованому і зазначеному просторі або над ним. Досліджувана класифікація далі:[[0 0 1] [1 0 0] [0 1 0]], де вона представлена як діагональна і, більш того, записи – все 1. Тоді це ідентичність 3 x 3 I3. Оскільки аналогічні матриці є за визначенням квадратними, потрібно всього лише використовувати один індекс для знаходження їх розмірів. Для того щоб дві матриці були рівні, вони повинні бути одного і того ж параметра, а також мати однакові записи в одних і тих же місцях. Наприклад, припустимо, що є два наступних розглянутих елемента: A =[[1 3 0] [-2 0 0]]і B =[[1 3] [-2 0]]. Дані значення не можуть бути однаковими, оскільки вони різні за розміром. Навіть якщо A і B є такими: A =[[3 6] [2 5] [1 4]]і B =[[1 2 3] [4 5 6]]– вони все ще не те ж саме. A і B мають по шість записів, а також мають однакові номери, але цього недостатньо для матриць. A – 3 x 2. А B – матриця 2 x 3. А для 3 x 2 не дорівнює 2 x 3. Не має значення, чи мають A і B однакову кількість даних або навіть ті ж номери, що і запису. Якщо А і В не мають однакового розміру і форми, але мають ідентичні значення в аналогічних місцях, вони не рівні.
Аналогічні операції в розглянутій області
Це властивість матричного рівності можна перетворити в завдання для самостійних досліджень. Наприклад, дано дві матриці, і при цьому зазначено, що вони рівні. В такому випадку потрібно буде використовувати це рівність для дослідження і отримання відповідей значень змінних. Приклади і рішення в алгебрі матриць можуть бути різноманітні, особливо якщо це стосується рівностей. Враховуючи, що такі матриці розглянуті, необхідно знайти значення x і y. Для того щоб A і B були рівні, вони повинні мати однаковий розмір і форму. По суті, вони такими і є, адже кожна з них становить 2 x 2 матриці. І вони повинні мати однакові значення в тих же місцях. Тоді a11 повинен дорівнювати b11 a12 повинен дорівнювати b12 і т. д. Запису a12 і a21 явно дорівнюють відповідно елементам b12 і b21 (шляхом перевірки, тобто просто переглядаючи їх). Але, a11 = 1 очевидно, не дорівнює b11 = x. Для A, ідентичного B, запис повинна мати a11 = b11 тому вона здатна дорівнювати 1 = x. Аналогічно, що індекси a22 = b22 тому 4 = y. Тоді рішення: x = 1 y = 4. Враховуючи, що такі матриці рівні, потрібно знайти значення x, y і z. Щоб мати A = B, коефіцієнти повинні мати всі записи рівними. Тобто a11 = b11 a12 = b12 a21 = b21 і так далі. Зокрема, повинен: 4 = x -2 = y + 4 3 = z /3. Як можна побачити з виділених матриць: з 11-, 22 - 31-елементами. Вирішуючи ці три рівняння, отримуємо відповідь: x = 4 y = -6 і z = 9. Алгебра матриць і операції над матрицями відрізняються від того, до чого всі звикли, але вони не размножаемы.Докладніше в даній області
Лінійна алгебра матриці – це дослідження таких множин рівнянь та їх властивостей перетворення. Ця область знань дозволяє аналізувати обертання в просторі, апроксимувати найменші квадрати, пов'язаних рішення диференціальних рівнянь, визначати коло, що проходить через три задані точки, а також вирішувати багато інших питань математики, фізики і техніки. Лінійна алгебра матриці насправді не є технічним змістом вжитого слова, то є векторним простором v над полем f і т. д. Матриця і визначник є надзвичайно корисними інструментами лінійної алгебри. Однією з центральних завдань є рішення матричного рівняння A x = b, x. Хоча це теоретично може бути вирішено з використанням зворотного x = A -1 b. Інші методи, такі як гаусівських розподілу виняток, чисельно більш надійні.